шпоры по высшей математике 1 семестр 1 курс
.docx
31. Бесконечно-малые функции.
Бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.
Функция α(x) – бесконечно-малая при x→a, если lim α(x) = 0.
Терема об отношении 2 бесконечно-малых функций
Предел отношения 2 бесконечно-малых функций = пределу отношения 2 других бесконечно-малых функций, соотв. им пропорционально.
α1(x) α2(x) и β 1(x) β 2(x)
=
32. Замечательные пределы.
1) =1 2)
Раскрытие неопределённостей
, можно раскрыть используя правило Лапиталя; разделяя каждый элемент на x в большей степени.
) можно раскрыть используя 2 замечательный предел.
( сначала при помощи различных преобразований приводим к , , и раскрываем.
33. Непрерывность функции в точке
Функция называется непрерывной в точке, если: функция определена в точке и ее окрестности; существует конечный предел функции в точке; этот предел равен значению функции в точке.
Свойства непрерывных функций
Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва.
Если функция непрерывна и справа и слева, то она непрерывна в этой точке.
Если функция y=f(x) находится на отрезке непрерывна в точке a справа.
Если функция y=f(x) находится на отрезке непрерывна в точке a слева.
34. Непрерывность фун. на интервале
Функция называется непрерывной в интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Основные теоремы непрерывных функций
1) Пусть заданы две функции f(x) и g(x) , непрерывные на некотором множестве X. Сумма, произведение и частное (при условии, что g(x) ) является также непрерывной функцией на рассматриваемом множестве.
2) Каждая элементарная функция, заданная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.
3) Пусть функция z=(x) непрерывна в точке x0, а функция y=f(x) непрерывна в точке z0, где z0=(x0), тогда сложная функция y=f((x)) является непрерывной в точке x0.
35. Производная функции
Это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Если функция имеет производную в точке x0, то в этой точке она непрерывна. Производная в точке 0 не существует.
Геометрический и механический смысл производной
1) Геометрический смысл: производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) в точке x0.
2) Механический смысл: скорость – это производная координаты по времени:
36. Основные правила дифференцирования
1) Пусть u(x) и v(x) – дифференциальные функции в точке x, тогда их произведение и частное также дифференцируемы в точке x.
2) Пусть сложная функция y=f(z), где z=(x) дифф-мы в точке z, тогда y=f((x)) дифф-ма в точке x.
3) Постоянный множитель c можно выносить за знак производной.
4) Производная от суммы (разности) функции = сумме (разности) производных.
37. Производная сложной и обратной функции
1) Пусть сложная функция y=f(z), где z=(x) дифф-мы в точке z, тогда y=f((x)) дифф-ма в точке x. Производную сложной функции можно найти по формуле: y'=y'z*z'x.
2) Если функции y=f(x) и x=g(y) — пара взаимно обратных функций, и функция y=f(x) имеет производную f'(x), то производная обратной функции находится по формуле: g'(x)=1/f '(x).
38. Дифференцирование неявных функций и функций, заданных параметрически
1) Чтобы найти производную функции, заданной неявно (когда слева и справа есть переменная y) каким-либо уравнением необходимо взять производную из обоих частей уравнения, затем переносим все y' влево и подставляем вместо y исходное выражение.
2) Пусть y=y(x) задана параметрически:
, тогда чтобы продифференцировать эту функцию необходимо воспользоваться формулой: y'x=
39. Дифференциал функции и её геометрический смысл
1) Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x0, тогда превращение можно представить в виде
y=f '(x0)*x+0(x)
y f '(x0)*x при x→0
f '(x0)*x в разложении y называется главной линейной относительно х частью превращения функции.
Главная линейная относительно х функция наз. дифф-ой функцией и обозначается dy. dy=y'*dx. y'=
2) Дифференциал функции y=f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получит приращение х.
40. Производные высших порядков
Производная от производной 1-го порядка называется производной 2-го порядка. y'=f '(x); y''=(y')'; yn=(yn-1)'
Дифференцируемость функции
Пусть функция y=f(x) дифф-ма в точке x0, тогда превращение можно представить в виде y=f '(x0)*x+0(x)
y f '(x0)*x при x→0
f '(x0)*x в разложении y называется главной линейной относительно х частью превращения функции.
Главная линейная относительно х функция наз. дифф-ой функцией и обозначается dy.
1 порядка) dy=y'*dx. y'=
высших порядков) d2y=y''dx2; d3y=y'''dx3
41. Теорема Ролля и Лагранжа
1) Пусть f(x) удовлетворяет условиям: определена и непрерывна на отрезке [a,b]; дифф-ма на (a,b,); Значения функции на концах отрезков совпадают f(a)=f(b). Тогда существует точка c=(a,b) такая что f'(x)=0
2) Пусть f(x) удовлетворяет условиям: определена и непрерывна на отрезке [a,b]; дифф-ма на (a,b,). Тогда существует точка c такая, что =f '(c)
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя используется при вычислении предела функции и относится только для раскрытия неопределённостей: , Такие пределы вычисляются по формуле: =
42. Условие монотонности функции.
Пусть f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], тогда если: 1) f(x)0, для всех x принадлежащих (a,b), то f(x) – не убывает; 2) f(x)0, для всех x принадлежащих (a,b), то f(x) – не возрастает;
Следовательно: если f(x)0, для всех x принадлежащих (a,b), то f(x) – возрастает; а f(x)0 - убывает
Необходимое условие экстремума
Пусть x0 – точка локального экстремума функции f(x), тогда f '(x) обращается в 0 или не существует.
Критические точки - те, которые не входят в обл. определения (чаще всего это точки разрыва). Стационарные-точки в которых значение производной равно нулю (точки экстремума)
43. Экстремум фун. одной переменной
Пусть у нас есть функция y=f(x) и точка x0 – точка локального max (min) если существует x принадлежащий дельта-окрестности x0, то f(x0)f(x) max; f(x0)f(x) min
Локальные max и min – локальные экстремумы. x0 – точка локального максимума если f(x0)= максимальному значению f(x).
Достаточные условия экстремума
1) Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0 и имеет конечную производную f'(x). Если же при переходе через точку x0 производная не меняет знак, то в точке x0 нет экстремума.
2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке x0, причем
df(x0) = 0, а d2f(x0) > 0 (d2f(x0) < 0 ).
Тогда точка x0 есть точка локального минимума (локального максимума) функции f(x).
3) Пусть функция f(x) имеет в точке х0 производные f '(x0) и f''(x0), причем f'(x0) = 0, а f''(x0) > 0 (f''(x0) < 0 ).
Тогда точка x0 есть точка локального минимума (локального максимума) функции f(x).
44. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
График функции y=f(x) называется вогнутым на (a,b) если он расположен ниже касательной, проведённой к графику функции.
График функции y=f(x) называется выпуклым на (a,b) если он расположен выше касательной, проведённой к графику функции.
Точка перегиба функции – это точка, в которой функция непрерывна и её график имеет касательную (которая может быть параллельна оси) и при переходе через (x) функция меняет направление выпуклости.
45. Асимптоты графика функции.
Асимптота – значение, к которому стремится функция. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Прямая называется вертикальной асимптотой, если 1 из односторонних пределов в этой точке = .
Прямая называется горизонтальной асимптотой функции, если предел этой функции при x→ = числу.
Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой, если существуют конечные пределы.
Схема исследования функции
1) Находим область определения функции.
2) Определяем чётность\нечётность функции и её периодичность.
3) Находим точки пересечения с осями Ox и Oy (приравниваем x=0 и y=0)
4) Исследуем функцию на наличие асимптот
5) Определяем y' и её критические точки (y'=0)
6) Находим y'' и её критические точки.
7) Результаты заносим в таблицу.
8) С помощью таблицы строим график функции.