1.1. Метод левых прямоугольников

Пусть на отрезке задана непрерывная функция.Требуется вычислить определенный интеграл

.

Разделим отрезок точками,,, …,наравных частей длины:

.

Рис.2.

Рис. 3.

Обозначим далее через , ,, ...,,значение функциив точках,,, …,, т.е.

, ,…,.

Составим суммы:

,

.

Каждая из этих сумм является интегральной суммой для на отрезкеи поэтому приближенно выражает интеграл

, (3)

. (4)

Из рис. 2 и 3 ясно, что если – положительная и возрастающая функция, то формула (3) выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, и эта формула называетсяформулой левых прямоугольников, а формула (4) – площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников, и называетсяформулой правых прямоугольников.

Ошибка, совершаемая при вычислении интеграла по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число (т. е. чемменьше шаг деления ).

1.2. Метод трапеций

Пусть на отрезке задана непрерывная функция.Требуется вычислить определенный интеграл

.

Разделим отрезок точками,,, …,наравных частей длины:

.

Рис. 4.

Обозначим далее через , ,, ...,,значение функциив точках,,, …,, т.е.

, ,…,.

Составим сумму прямоугольных трапеций:

.

Эта сумма является интегральной суммой для на отрезке, и поэтому приближенно выражает интеграл

. (5)

Это и есть формула трапеции. Ошибка, совершаемая при вычислении интеграла по формуле трапеции, будет тем меньше, чем больше число (т. е. чемменьше шаг деления ).

1.3. Метод Симпсона

Разобьем отрезок интегрирования на четное числоравных частей с шагом. На каждом отрезке, , ...,, ..., подынтегральную функциюзаменим интегральным многочленом второй степени:

, .

Коэффициенты этих квадратных трехчленов могут быть найдены из условий равенства многочлена в точках в соответствующих табличным данным. В качествеможно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки,,:

.

Элементарная площадь может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая равенство, получаем:

.

Проведя такие вычисления для каждого элементарного отрезка ,просуммируем полученные выражения:

.

Данное выражение для принимается в качестве значения определенного интеграла

.

Полученное соотношение называется формулой Симпсона.

1.4. Метод Чебышева

П.Л. Чебышев предложил формулу:

,

в которой коэффициенты фиксированы, аподлежат определению.

Рассмотрим случай, когда ,,. Тогда:

. (6)

Коэффициент и точкиопределяются из условия, что это равенство является точным для случая, когдамногочлен степени не выше:

.

Подставляя в левую часть и интегрируя, получаем:

.

Подставляя полученный результат в правую часть (6), получим:

Тогда имеем:

.

Это равенство должно выполняться при любых ,, …,, поэтому получаем следующую систему уравнений:

Пользуясь алгебраическими свойствами симметричных многочленов, можно привести эту систему к одному алгебраическому уравнению -ой степени, корни которого и являются узлами квадратурной формулы Чебышева. Опустив преобразования, ограничимся готовыми результатами. В таблице приведены значения узлов квадратурной формулы Чебышева для 4 разбиений.

0.083751	0.312730	0.500000	0.687270	0.916249

Для любых пределов интегрирования имеем:

,

где ,.

Значения берутся из таблицы при выбранном значении. Для повышения точности можно не только увеличивать количество узлов, но и разбивать отрезок на подотрезки, к каждому из которых применяется соответствующая формула.