- •1. Понятие множества.
- •2. Способы представления множеств.
- •3. Операции над множествами.
- •4. Разбиения и покрытия.
- •5. Свойства операций над множествами. Доказательства.
- •6. Универсальное множество. Булеан.
- •7. Представление множеств в эвм.
- •8. Реализация операций над подмножествами заданного универсума.
- •9. Генерация всех подмножеств универсума. Алгоритм генерации всех подмножеств данного множества.
- •10. Алгоритм построения бинарного кода Грея.
- •11. Представление множеств упорядоченными списками.
- •12. Алгоритм проверки включения.
- •13. Алгоритм вычисления объединения множеств.
- •14. Алгоритм вычисления пересечения множеств.
- •15. Упорядоченное множество. Прямое произведение множеств.
- •16. Отношения. Композиция отношений.
- •17. Свойства отношений. Доказательство. Представление отношений в эвм.
- •18. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности.
- •19. Отношение порядка. Минимальный элемент.
- •20. Отношение преобладания (доминирования).
- •21. Симметричное отношение. Композиция отношений.
- •22. Функциональное отношение.
- •23. Типы отображений (инъекция, биекция, сюръекция).
- •24. Способы задания функций.
- •25. Функции алгебры логики.
- •26. Задание функций алгебры логики.
- •27. Существенная и несущественная переменные.
- •28. Примеры логических функций.
- •29. Представление булевых функций формулами.
- •30. Представление булевых функций формулами. Примеры.
- •31. Разложение булевых функций по переменным. Теорема.
- •32. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма
- •33. Эквивалентные преобразования. Доказательство.
- •34. Правила подстановки, замены.
- •35. Некоторые эквивалентные преобразования.
- •36. Приведение дизъюнктивной нормальной формы к совершенной дизъюнктивной нормальной форме.
- •37. Замкнутые классы. Свойства замыкания.
- •38. Класс функций, сохраняющих значение 0.
- •39. Класс функций, сохраняющих значение 1.
- •40. Принцип двойственности. Класс самодвойственных функций.
- •41. Класс монотонных функций.
- •42. Класс линейных функций.
- •43. Алгебра Жегалкина. Полином Жегалкина.
- •44. Полином Жегалкина. Теорема.
- •45. Полнота.
- •46. Лемма о немонотонных функциях.
- •47. Лемма о нелинейных функциях.
- •48. Функциональная полнота. Первая теорема о функциональной полноте.
- •49. Функциональная полнота. Теорема Поста.
- •50. Логические исчисления.
- •51. Высказывания. Формулы.
- •52. Интерпретация формулы. Теорема.
- •53. Логическое следование и логическая эквивалентность.
- •54. Логические эквивалентности. Доказательство.
- •55. Исчисление высказываний.
- •56. Понятие предиката.
- •57. Понятие квантора. Квантор существования. Квантор всеобщности.
- •58. Исчисление предикатов.
- •59. Аксиомы исчисления предикатов. Правила логического вывода.
- •60. Графы. Типы задач теории графов.
- •61. Графы. Основные определения.
- •62. Способы представления графов.
- •63. Идентификация графов, заданных своими представлениями.
- •64. Обходы графов.
- •65. Степени вершин графа.
- •66. Операции с частями графа.
- •67. Маршруты, цепи, циклы.
- •68. Связные компоненты графа.
- •69. Расстояния в графе.
- •70. Диаметр, радиус, центр графа.
- •71. Произведение графов.
- •72. Прямое произведение графов.
- •73. Эйлеровы циклы.
- •74. Теорема Эйлера.
- •75. Эйлеровы цепи.
- •76. Гамильтоновы циклы.
- •77. Некоторые классы графов и их частей. Дерево и лес.
- •78. Концевые вершины и ребра.
- •82. Цикломатическое число графа.
- •83. Ориентированные графы. Пути и циклы в ориентированном графе.
- •86.Деревья
- •49.Функциональная полнота. Теорема Поста
- •94. Блок-схемы алгоритмов
- •95.Машины Тьюринга. Основные определения.Машина
- •96.Машины Тьюринга.Сложение
- •96.Машины Тьюринга.Копирование
- •80.Типы вершин
- •84.Начальные и конечные вершины. Ранги вершин
- •90. Бінарне дерево
- •79. Дерево с корнем. Ветви.
- •81. Центры деревьев. Теорема.
- •85. Отношение достижимости. Базисный граф
- •88.Способы представления деревьев
53. Логическое следование и логическая эквивалентность.
Говорят, что логическая формула В следует из формулы А, если формула В имеет значение "истина" при всех интерпретациях, при которых формула А имеет значение "истина"
Говорят, что формулы А и В логически эквивалентны (), если они являются логическим следствием друг друга, логически эквивалентные формулы имеют одинаковые значения при любой интерпретации.
Теорема
¬Q
Док-во:
Для доказательства строится таблица истинности для правой и левой части и показывается, что они эквивалентны при любых интерпретациях.
-
P
Q
¬
¬
F
F
T
T
T
F
T
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
T
F
T
54. Логические эквивалентности. Доказательство.
Теорема
Если A, B, C – любые логические формулы, то имеет место следующие логические эквивалентности:
1 |
||
2 |
||
3 |
||
4 |
||
5 |
||
6 |
||
7 |
||
8 |
¬(¬А)=А |
|
9 |
¬(A&B)= ¬A¬B |
¬(AB)= ¬A&¬B |
10 |
A¬A=True |
A&¬A=False |
55. Исчисление высказываний.
Исчисление высказываний – это формальная теория, в которой присутствуют:
1) алфавит:
- связки ¬,
- служебные символы ,
- пропозициональные переменные х1, х2… хn
2) формулы:
- переменные
- если А и В – формулы, то ¬А и А В тоже формулы.
3) аксиомы
А1: А (ВА)
А2… А4
4) правило логического вывода
А, АВ
В
Modus ponens
Читается так: формула В выводится из формулы А и АВ по правилу вывода Modus ponens .
Modus ponens – правило от деления.
А и В – любые формулы.
Таким образом, множество аксиом бесконечно и задаются несколькими видами схем.
56. Понятие предиката.
Предикат (n-местный, или n-арный) — это функция с областью значений {0,1} (или «Истина» и «Ложь»), определённая на n-й декартовой степени множества M. Таким образом, каждую n-ку элементов M он характеризует либо как «истинную», либо как «ложную».
Предикат можно связать с математическим отношением: если n-ка принадлежит отношению, то предикат будет возвращать на ней 1.
Предикат — один из элементов логики первого и высших порядков. Начиная с логики второго порядка, в формулах можно ставить кванторы по предикатам.
Предикат называют тождественно-истинным и пишут: P
если на любом наборе аргументов он принимает значение 1.
Предикат называют тождественно-ложным и пишут: P
если на любом наборе аргументов он принимает значение 0.
Предикат называют выполнимым, если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает значение 1.
Так как предикаты принимают только два значения, то к ним применимы все операции булевой алгебры, например: отрицание, импликация, конъюнкция, дизъюнкция и т. д.
Например, обозначим предикатом EQ(x, y) отношение равенства («x = y»), где x и y принадлежат множеству вещественных чисел. В этом случае предикат EQ будет принимать истинное значение для всех равных x и y.
Более житейским примером может служить предикат ПРОЖИВАЕТ(x, y, z) для отношения «x проживает в городе y на улице z» или ЛЮБИТ(x, y) для «x любит y», где множество M — это множество всех людей.