- •Проекція вектора на вектор та кут між ними визначаються
- •Основні правила диференціювання
- •7. Дані вершини трикутника: m(0;1); n(6;5) та с(12;-1). Скласти рівняння висоти трикутника, проведеної з вершини с.
- •9. Дані вершини трикутника а(-2; -3), в(5; 4) та с(-1; 2). Скласти рівняння медіани ам.
- •10. Провести серединний перпендикуляр відрізка ав, де а(0; -2), в(4;0).
- •11. Дані рівняння сторін трикутника:
- •12. Знайти проекцію точки р(4;9) на пряму, що проходить через точки а(3;1) та в(5; 4).
- •Рівняння другої прямої запишемо, скориставшись рівнянням
- •13. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку м0(2;3;5) і перпендикулярно вектору .
- •15. З точки р (2;3;-5) на координатні площини опущені перпендикуляри. Скласти рівняння площини, що проходить через їх основи.
- •16. Скласти рівняння площини, яка проходить через початок координат перпендикулярно прямій
- •19. Знайти точку перетину прямої і площини
- •1) Дослідити на монотонність і екстремуми дану функцію.
- •2) Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку 0;1.
- •31. Нехай
- •32. Дослідити на екстремум функцію
- •33. Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння
- •36. Розглянемо ряд .
Теорема (Крамера). Якщо визначник системи не дорівнює нулю, то система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами:
.
Теорема (Кронекера-Капеллі). Система лінійних рівнянь сумісна тоді і лише тоді, коли ранг розширеної матриці системи дорівнює рангу матриці системи: .
Якщо =n система визначена
Якщо <n система невизначена
Якщо система несумісна
Довжина вектора знаходиться за формулою .
Якщо вектори задані своїми координатами, то .
Координати вектора
Умова колінеарності двох векторів = (x1, y1, z1) і =(x2, y2, z2),
.
Умова перпендикулярності = (x1, y1, z1) і =(x2, y2, z2),
х1*х2+у1*у2 +z1*z2 =0
Скалярним добутком двох векторів і називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:
.
Проекція вектора на вектор та кут між ними визначаються
.
Орт вектора:
Знаходження напрямних косинусів вектора
Аналітична геометрія на площині
A(x-x0)+B(y-y0)=0 – рівняння прямої, яка проходить через точку М(x0,y0) перпендикулярно до вектора (до нормального вектора);
– рівняння прямої, яка проходить через точку М0(x0,y0) паралельно напрямному вектору (канонічне рівняння);
– рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки М1(x1,y1) і М2(x2,y2).
Кут між прямими
Якщо задані рівняння прямої Ax+By+C=0 і точка M0(x0,y0), то відстань від цієї точки до даної прямої обчислюється за формулою
.
Аналітична геометрія у просторі
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 – рівняння площини, яка проходить через задану точку M0(x0,y0, z0,) перпендикулярно до нормального вектора :
– рівняння площини, яка проходить через три задані точки М1(x1,y1, z1) і М2(x2,y2, z2), М3(x3,y3, z3).
Умова паралельності двох площин A1x+B1y+C1z+D1=0 і A2x+B2y+C2z+D2=0 має вигляд , а умовою перпендикулярності цих же площин є рівність A1 A2+ B1 B2+ C1 C2=0.
Кут між двома даними площинами визначається за формулою
.
Відстань від точки M0 (x0,y0, z0,) до площини Ax+By+Cz+D=0:
Лінія у просторі:
– канонічне рівняння прямої, де (x0,y0, z0,) –задана точка , а вектор – напрямлений вектор прямої;
– рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки М1(x1,y1, z1) і М2(x2,y2, z2);
- параметричні рівняння прямої у просторі, де – деякий параметр;
– загальні рівняння прямої, коли пряма лінія визначена перетином двох площин.
Кут між прямими і обчислюється за формулою .
Умова паралельності і перпендикулярності цих прямих відповідно:
і .
Щоб знайти точку перетину прямої і площини Ax+By+Cz+D=0, слід розв’язати сумісно ці три рівняння.
ЗАДАЧА КОШИ:
Перша особлива границя:
Наслідки першої особливої границі:
sinxx (x0)
tgxx (x0)
arcsinxx (x0)
arcsin23x(3x)2 (x0)
arctgxx (x0)
1-cosx (x0)
Друга особлива границя:
Наслідки
ln(1+x)x (x0)
log(1+x)
ex-1x (x0)
ax-1 x lna (x0)
еab
Таблиця похідних основних елементарних функцій
1.(xm) = mx m-1 ;
2.(ex)= ex ;
2.
2.
2.
3. (lnx)=
4. (sinx)=cosx ;
5. (cosx)=-sinx ;
6. (tgx)=1/cos2x ;
7. (ctgx)=-1/sin2x ;
8. (arcsinx)=
9. (arccosx) =-
10. (arctgx) =
11. (arcctgx) =-
Основні правила диференціювання
1)С’=0; 2)x’=1; 3)(u v)’=u’ v’; 4)(Cu)’=Cu’;
5)(uv)’=u’v+uv’; 6)
7)якщо y=f(u), u=u(x), тобто y=fu(x), де функції f(u)та u(x)мають похідні, то y’x = y’uu’x (правило диференціювання складної функції).
Таблиця основних невизначених інтегралів
-
зокрема,
-
-
Метод інтегрування частинами
Формула Ньютона - Лейбніца
=-=│.
Метод інтегрування частинами. Формула інтегрування частинами для визначеного інтеграла має вигляд:
Схема дослідження функції на монотонність та екстремуми
1) D(y);
2) y´;
3) знайти критичні точки;
4) визначити проміжки знакосталості y´ Þ встановити проміжки монотонності y;
5) прослідкувати за зміною знака y´ при переході через критичні точки Þ встановити точки екстремуму.
Рівняння дотичної
1) у-у0=f ’(х0)(х-х0) в т. М (х0;у0);
2) у0=f(х0); (число)
3) f ’(х); (вираз)
4) f ’(х0); (число)
Рівняння у=kх±b, k= tg a
Градієнт ф-ї Z в т.М(х0;у0):
Градієнт ф-ї в даній т. вказує напрям і велич найб швидкості зростання цієї ф-ї в указ. точці:
Якщо ∆>0, то (х,у)-т. екстремуму А>0-мінім, А<0-макс.
∆<0, то (х,у)- не т. екстремуму, ∆=0-потрібні подальші дослідження
Приклади розв’язання основних типів екзаменаційних задач
1. Розв’язати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера.
Складемо матрицю системи рівнянь, обчислимо визначник системи та додаткові визначники:
Відповідь: х = 2 ; y = 2 ; z = 1.
2. Знайти довжину вектора , якщо відомі координати точок А(2; -1), В(-3; 0), С(5; -2).
-
Якщо вектор має своїм початком точку А(х1; у1; z1), а кінцем точку В(х2; y2; z2), то кооординати вектора обчислюються за правилом:
-
Якщо то
3)Якщо то довжина . Тоді
3. Знайти орт вектора
,
Тоді
Відповідь:
4. У трикутнику з вершинами А(2;-1;3), В(-2;2;5), С(1;2;3) знайти кут при вершині А.
тоді
cosj=
j » arccos 0,763 »40°18¢.
5. Знайти точку D так, щоб чотирикутник АВСD був паралелограмом, якщо
А(-2; 0), В(1; -3), С(2; 5).
Розв¢язання:
Якщо АВСD- паралелограм, то а два вектори рівні, якщо рівні відповідні координати. Позначимо через х,у невідомі координати точки D. Тоді
З умови рівності координат маємо: 2 –х = 3, 5-у =-3, звідси х = -1, у = 8.
Отже, одержали координати точки D (-1; 8).
6. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки М(-1; 3) та N(2;5)
Скористаємося рівнянням прямої на площині, що проходить через точки М1(х1; у1)та М2(х2; у2): .
Підставляючи в це рівняння наші дані, одержуємо
або .
Рівняння має вигляд 2х –3у +11= 0.
Корисно перевірити, що рівняння складено вірно. Для цього достатньо показати, що координати точок М та N задовольняють рівнянню прямої. Дійсно, рівності
2(-1)-3·3+11= 0, 2·2- 3·5 +11=0 виконуються тотожно.