1. Центральная предельная теорема теории вероятностей и ее практическое использование в задачах синтеза ткс.

Теорема. Если случайные величины Х₁, Х₂, ... , Х_n взаимно независимы и имеют один и тот же закон распределения f(x) и

то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному.

Она может быть сформулирована в более общем случае. Закон распределения вероятностей суммы независимых случайных величин одинакового порядка при неограниченном увеличении слагаемых вне зависимости законов распределения слагаемых стремится к нормальному закону с плотностью вероятностей

где

2. Теорема Чебышева и ее практическое использование в задачах анализа ткс.

Пусть m_x и D_x – математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х. Тогда неравенство Чебышева гласит: вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет по абсолютной величине не меньше любого положительного числа , ограничена величиной , т.е.

Теорема: при неограниченном увеличении числа независимых испытаний, среднее арифметическое значение дисперсии, сходится по вероятности от ее математического ожидания.

3. Определить понятие системы случайных величин. Дать определение зависимых случайных величии. Привести критерии независимости двух с. В., используемые практически.

Система случайных величин - упорядоченный набор (x1,x2,…xn) слу.величин Xi(i=1,n), заданных на одном и том же Пространстве Элементарных Событий Ω (называется n-мерной случайной величиной)

Две слу.величины называются зависимыми, если закон распределения вероятностей одной из них меняется в зависимости от того, какое значение принимает другая.

Если слу.вел. независимы, то

f(x,y)=f(x)*f(y)

K_xy=0(корреляционный момент=0, отсутствует линейная зависимость)

M[x y] =m_x* m_y (математическое ожидание)

r_xy=K_xy/(σ_x*σ_y); 0<=|r_xy|<=1

коефициент корреляции

4. Определить основные числовые характеристики системы случайных величин. Обосновать их использование в задачах анализа ткс.

Математическое ожидание, мода и медиана случайной величины. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.

Пусть дискретная случайная величина X принимает значения и вероятность принятия случайной величиной значения равна . Интуитивно ясно, что при наблюдении случайной величины X в n (n>>1) повторных независимых экспериментах значение появится примерно раз. Таким образом, среднее значение этой величины , подсчитанное по n экспериментам , есть примерно

.

Поэтому математическим ожиданием или средним значением дискретной случайной величины X называется число .Если и ряд сходится абсолютно, математическим ожиданием является величина .

Можно дать механическую интерпретацию математического ожидания. Если в точки прямой линии с абсциссами положены соответственно массы , то с учетом , что , есть абсцисса центра тяжести этой системы материальных точек. С позиции математики математическое ожидании является линейным функционалом, т.е. линейной операцией, ставящей в соответствие функции X(w) число M(X).

Модой с.в. называется наиболее вероятное значение с.в., т.е. для которого вероятность или плотность распределения достигает максимума.

Моду обычно обозначают . Экспериментальные аналоги моды: для дискретной с.в.Х – то значение, которое в данной серии опытов встречается чаще всего; для непрерывной с.в. – центр того элементарного интервала, для которого плотностьчастоты (отношение частоты попадания в этот интервал к его длине) достигает максимума.

Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое её значение , для которого .

Начальным моментом S-го порядка с.в.Х называется математическое ожидание S-ой степени этой величины

Для дискретной с.в.Х начальный момент S-го порядка выражается суммой

, для непрерывной - интегралом

, где - плотность распределения.

Ранее введенная характеристика- есть не что иное, как первый начальный момент

.

Центральным моментом S-го порядка с.в.Х называется математическое ожидание S-ой степени центрированной с.в.

;

Для дискретной с.в. , для непрерывной- .

Для непосредственного вычисления дисперсии служат формулы:

для дискретной с.в.

для непрерывной с.в.