- •Розділ iіі Вступ до математичного аналізу
- •Функції однієї змінної
- •Основні елементарні функції і їх графіки
- •Границя функції
- •Властивості границі
- •Методи обчислення границь
- •Види невизначеності:
- •Розкриття невизначеності embed Equation.3
- •Розкриття невизначеності embed Equation.3
- •Розкриття невизначеності embed Equation.3
- •Неперервність функції embed Equation.3
- •Класифікація точок розриву
- •Варіанти для самостійного розв’язання
- •Теоретичні запитання
Розділ III. Вступ до математичного аналізу
Розділ iіі Вступ до математичного аналізу
Функції однієї змінної
Змінна величина називається функцією незалежної змінної , якщо кожному значенню із деякої множини поставлено у відпо-відність єдине значення .
Якщо є функцією від , то записують .
Змінна називається аргументом функції .
Вираз означає те значення , яке приймає функція при .
Множина , що є сукупністю значень незалежної змінної , для яких визначаються значення залежної змінної , називається областю визначення функції (або областю існування).
Геометрично, область визначення функції є проекцією графіка функції на вісь .
Приклад 1. Знайти область визначення функції
Розв’язання. Враховуючи, що
-
вираз під коренем парного степеня повинен бути невід’ємним,
-
вираз, що є аргументом логарифма, повинен бути додатним,
-
вираз знаменника дробу не повинен дорівнювати 0,
-
модуль виразу, що є аргументом арксинуса, повинен бути , маємо систему нерівностей
Отже, область визначення функції:
Сукупність значень , які відповідають всім значенням , називається областю значень (або областю зміни) функції.
Функція називається однозначною, якщо кожному значенню відповідає одне єдине значення , в протилежному випадку – многозначною.
Елементарними функціями називаються степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні, обернено тригонометричні, гіперболічні функції, а також функції, що отримуються із вище перерахованих за допомогою арифметичних дій (додавання, віднімання, множення, ділення) і суперпозиції (операції взяття функції від функції), що застосовуються скінченне число разів.
Основні елементарні функції і їх графіки
Степенева функція
|
Рис. 1 Рис. 2
Рис. 3 Рис. 4
Рис. 5 Рис. 6 |
Показникова функція
, Частинний випадок: експоненціальна функція
|
Рис. 7 Рис. 8
|
Логарифмічна функція
, Частинний випадок: натуральний логарифм ()
|
Рис. 9 Рис. 10 |
Тригонометричні функції |
Рис. 11
Рис. 12 EMBED Word.Picture.8 Рис. 13 EMBED Word.Picture.8 Рис. 14 |
Обернено тригонометричні функції |
EMBED Word.Picture.8 EMBED Word.Picture.8 Рис. 15 Рис. 16 EMBED Word.Picture.8 EMBED Word.Picture.8 Рис. 17 Рис. 18 |
Гіперболічні функції |
EMBED Word.Picture.8 EMBED Word.Picture.8 Рис. 19 Рис. 20 EMBED Word.Picture.8 EMBED Word.Picture.8 Рис. 21 Рис. 22 |
Зауваження:
1) Графік функції EMBED Equation.3 отримується паралельним перенесенням графіка функції EMBED Equation.3 вздовж осі EMBED Equation.3 на величину EMBED Equation.3 у додатному напрямку при EMBED Equation.3 і у від’ємному напрямку при EMBED Equation.3 .
2) Графік функції EMBED Equation.3 отримується паралельним перенесенням графіка функції EMBED Equation.3 вздовж осі EMBED Equation.3 на величину EMBED Equation.3 у додатному напрямку при EMBED Equation.3 і у від’ємному напрямку при EMBED Equation.3 .
3) Графік функції EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 отримується із графіка функції EMBED Equation.3 стиском його в EMBED Equation.3 разів (при EMBED Equation.3 ) або розтягненням в EMBED Equation.3 разів (при EMBED Equation.3 ) вздовж осі EMBED Equation.3 .
4) Графік функції EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 отримується із графіка функції EMBED Equation.3 розтягненням його в EMBED Equation.3 разів (при EMBED Equation.3 ) або стиском в EMBED Equation.3 разів (при EMBED Equation.3 ) вздовж осі EMBED Equation.3 .
5) Графік функції EMBED Equation.3 отримується симетричним відображенням графіка функції EMBED Equation.3 відносно осі EMBED Equation.3 .
6) Графік функції EMBED Equation.3 отримується симетричним відображенням графіка функції EMBED Equation.3 відносно осі EMBED Equation.3 .
Приклад 2. Побудувати графік функції EMBED Equation.3 , виді-ливши повний квадрат та перетворюючи графік EMBED Equation.3 .
Розв’язання. Перетворимо праву частину заданої функції наступним чином:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Отже, задану функцію можна записати так: EMBED Equation.3 Графіком цієї функції є парабола, яка отримується із параболи EMBED Equation.3 розтягненням її вздовж осі EMBED Equation.3 в 2 рази і паралельним перенесенням вздовж осі EMBED Equation.3 на 1 одиницю вліво та вздовж осі EMBED Equation.3 на 3 одиниці вгору (рис. 23). |
EMBED Word.Picture.8 Рис. 23 |