Решение

Пусть  - угол между нормалью направлением индукции в магнетике. Условие равенства нормальных проекций индукции следующее:

B₀cos=Bcos

Условие равенства касательных проекций напряженности:

B₀sin=(B/)sin

Из этих уравнений следует

tg=tg

Пользуясь тригономерическим тождеством

,

получим

.

23. Однослойная тороидальная катушка с железным сердечником имеет N=500 витков обмотки, по которой течет ток I= 1A. Радиус поперечного сечения тора r=1см, радиус его средней окружности R=10см. Сердечник имеет воздушный зазор толщиной L=1мм. Определить индукцию магнитного поля в сердечнике и в зазоре, а также намагниченность сердечника. Магнитная проницаемость железа =1000, рассеянием поля на краях зазора пренебречь. Оценить энергию магнитного поля тороидальной катушки.

Решение

Пусть H₁ - напряженность магнитного поля в сердечнике, - H – в зазоре. Используя теорему о циркуляции вдоль средней окружности сердечника, получим

2RH₁+HL=NI

Так как рассеянием поля в зазоре можно пренебречь, в зазоре имеется только нормальная составляющая индукции. Из условия непрерывности нормальной составляющей получим

H₁=H

Из этих уравнений следует H₁=NI/(2R+L), B₁=B=₀ NI/(2R+L) . Намагниченность

J=B₁ -₀H₁=(-1)₀ NI/(2R+L)

Плотность энергии магнитного поля w₁=BH₁/2, w=BH/2. Если объем сердечника V_c=r²2R, зазора V=r² L. Отсюда получаем энергию магнитного поля

W= w₁ V_c +wV=(1/2) r²₀ (NI)²/(2R+L)

Электромагнитная индукция. Самоиндукция

Закон электромагнитной индукции установлен Фарадеем опытным путем. Наиболее общая формулировка закона электромагнитной индукции следующая. Изменение индукции магнитного поля во времени порождает электрическое поле напряженностью . Если в пространстве имеется произвольный замкнутый контур L, то при изменении магнитного потока  через произвольную поверхность S, опирающуюся на этот контур, в нем возникает ЭДС, пропорциональная скорости изменения магнитного потока через этот контур:

Это формулировка закона электромагнитной индукции в интегральной форме. Между электрическим полем, порождаемом изменяющимся магнитным полем, и электрическим полем в электростатике существует важное, принципиальное отличие: циркуляция электрического поля индукции не равна нулю, т.е. это поле не является потенциальным. Работа при перемещении заряда под действием этого поля зависит от формы того пути, по которому перемещается заряд.

Так как по закону Био-Савара индукция магнитного поля пропорциональна току, то и магнитный поток пропорционален току. Ток всегда протекает по замкнутому контуру. В частности, магнитный поток через этот контур =LI, параметр L называется коэффициентом самоиндукции.

При изменении электрического тока над зарядом dq=Idt совершается работа dA=ЭДСdq=LIdI . Полная работа тогда будет A=LI²/2=I/2, эта работа переходит в энергию магнитного поля. Таким образом, W_магн= LI²/2=I/2.

24. Два металлических стержня расположены вертикально и замкнуты сверху проводником. По стержням без трения и нарушения контакта начинает скользить перемычка длиной L=10см и массой m=20 г. Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией B=0.1 Тл, перпендикулярной к ее плоскости. Какой максимальной скорости достигнет перемычка при своем движении вниз? Сопротивление перемычки R=0.05 Ом, сопротивлением стержней и проводника пренебречь, ускорение свободного падения g=9.8 м/с².