- •1. Системы линейных уравнений
- •2 . Определители
- •Задачи и упражнения
- •Индивидуальные задания
- •Дополнительные задачи и упражнения
- •3. Алгебра матриц
- •Задачи и упражнения
- •Индивидуальные задания
- •4. Алгебра комплексных чисел
- •5. Алгебра многочленов
- •Задачи и упражнения
- •6. Кольцо многочленов от нескольких переменных
Задачи и упражнения
[4, № 546, 549-552, 554-557, 577-580, 585, 587, 589, 590, 592, 593, 624-626, 650];
[6, № 7.1.1-7.1.4, 7.2.1-7.2.4, 7.2.8, 7.2.10, 7.2.11, 7.6.1, 7.6.2, 7.6.4, 7.7.2].
Индивидуальные задания
Задача 27. Даны многочлены, ,. Вычислить наибольший общий делитель: a) многочленов и ;
b) многочленов и ;
c) многочленов и .
|
|||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
Задача 28. Для многочленов и из задачи 27 найти такие многочлены и , что .
Задача 29. Многочлен из задачи 27 разложить:
а) по степеням двучлена x-2;
б) по степеням двучлена x+1.
Задача 30. Найти кратные корни многочлена из задачи 23 и определить их кратность.
Задача 31. Разложить в сумму простейших дробей над полем действительных чисел:
|
(a) |
(b) |
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
Задача 32. Решить 3-4 из дополнительных задач.
Дополнительные задачи и упражнения.
-
Известно, что при делении на x+1 дает остаток 1, а при делении на x+2 дает остаток 2.Какой остаток дает при делении на (x+1)(x+2)?
-
Некоторый многочлен при делении на (x-1)(x-2) и на (x-2)(x-3) дает соответственно остатки 2x и x+2. Какой остаток получится при делении этого многочлена на (x-1)(x-2)(x-3)?
-
Может ли некоторый многочлен при делении на (x-1)(x-2) и на (x-2)(x-3) давать соответственно остатки 2x и 4x?
-
Известно, что и при делении на x2 + x + 1 дают один и тот же остаток x+1. Какой остаток при делении на x2 + x + 1 дает многочлен ?
-
Разложить на множители многочлен x3 -3x+A зная, что у него есть кратный корень?
-
Разложить на множители многочлен x3-7x2+14x+A зная, что его корни образуют геометрическую прогрессию.
-
Решить уравнение x3-6x2+Ax-6=0, если один из корней равен 3.
-
При каких значениях A многочлен 3x4+4x3-6x2-12x+A имеет кратные корни?
-
При каких значениях A один из корней многочлена вдвое больше другого?
-
При каких целых значениях p многочлен x3+px+2 имеет хотя бы один целочисленный корень?
-
Дан многочлен с действительными коэффициентами и известно, что . Доказать, что .
-
Дан многочлен с действительными коэффициентами и известно, что . Доказать, что .
-
Доказать, что в выражении не встречается x в нечетных степенях.
-
Найти сумму коэффициентов при всех степенях x в после раскрытия скобок и приведения подобных членов.
-
При каких значениях A многочлены x2 + Ax + 1 и x2 + x +A имеют общий корень?
-
Для каждого из данных многочленов найти границы действительных корней и вычислить корни с точночтью до 0,001:
а) |
б) |
в) |
г) |
д) |
а) |