Кореляційний аналіз

У кореляційно-регресійному аналізі оцінка лінії регресії здійснюється не в окремих, точках, як в аналітичному групуванні, а в кожній точці інтервалу зміни факторної ознаки х. Тобто лінія регресії у даному випадку безперервна і зображується у вигляді певної функ­ції Y=f(x), яка називається рівнянням регресії, a Y- це теоретичні значення результативної ознаки.

Якщо зі зміною фактора х результат у змінюється більш-менш рівномірно, такий зв'язок описується лінійною функцією:

Y=a + bx.

При нерівномірному співвідношенні варіацій взаємозв'язаних ознак (наприклад, коли прирости значень у зі зміною х прискорені чи сповільнені або напрям зв'язку змінюється), використовують неліній­ні регресії, зокрема:

степеневу

гіперболу

параболу

Основні етапи кореляційного аналізу

I. Апріорний (попередній) аналіз.

2. Збір інформації та її первинна обробка

3. Вибір моделі зв'язку.

IV Оцінка та аналіз моделі.

На першому етапі здійснюється обгрунтування завдань дослідження, визначення найбільш важливих та суттєвих факторних ознак та методики вимірювання результативної ознаки.

На другому етапі необхідно встановити межі сукупності, що досліджується в часі і просторі, визначити одиниці цієї сукупності, провести спостереження, здійснити первинну обробку вихідної інформації, перевірку достовірності та збереження вимог, які має задовольняти вихідна інформація.

Вибір моделі зв'язку базується на теоретичному аналізі суті зв'язку, який окреслює особливості форми регресії і наближено може визначити її функціональний вид. У конкретних умовах простору і часу межі варіації взаємопов'язаних ознак х і у значно вужчі за теоретично можливі. І якщо кривина регресії невелика, то в межах фактичної варіації ознак зв'язок між ними досить точно описується лінійною функцією. Цим значною мірою пояснюється широке використання лінійних рівнянь регресії:

¥=а + bх

Параметр b (коефіцієнт регресії) — величина іменована, має розмірність результативної ознаки і розглядається як ефект впливу д: на у. Параметр b може набувати від'ємного значення, що свідчить про наявність оберненого зв'язку між показниками.

Параметр а - вільний член рівняння регресії, це значення у при х=0. Якщо межі варіації х не містять нуля, то цей параметр має лише розрахункове значення.

Параметри рівняння регресії визначаються методом найменших квадратів, основна умова якого - мінімізація суми квадратів відхилень емпіричних значень у від теоретичних Y:

Математично доведено, що значення параметрів а та b, при яких мінімізується сума квадратів відхилень, визначається із системи нормальних рівнянь.

Рівняння регресії відображає закон зв'язку між х і у не для окремих елементів сукупності, а для всієї сукупності в цілому; закон, який абстрагує вплив інших факторів, виходить з принципу „за інших однакових умов".

Якщо параметри рівняння зв'язку визначені правильно, то .

Поряд із визначенням характеру зв'язку та ефектів впливу факторів х на результату важливе значення має оцінка щільності зв'язку, тобто оцінка узгодженості варіації взаємопов'язаних ознак.

Оцінка та аналіз моделі — це один із найважливіших етапів дослідження кореляційного зв'язку.

Його суть полягає у визначенні тісноти зв'язку між двома ознаками тав оцінці адекватності моделі.

Для цього використовують такі засоби.

Для вимірювання щільності прямолінійних зв'язків використовується лінійний коефіцієнт кореляції. Найбільш зручною формулою для розрахунку коефіцієнта кореляції за незгрупованими даними є наступна:

Коефіцієнт кореляції можна обчислювати і за іншими фор­мулами. Зокрема:

Якщо визначена форма кореляційного зв'язку і обчислений коефіцієнт регресія, то коефіцієнт кореляції можна обчислити за формулою:

Лінійний коефіцієнт кореляції може набувати любих значень в межах від —1 до +1. Якщо г близьке до 1, то зв'язок між ознаками тісний, якщо г наближається до 0, то зв'язок незначний. Знак лінійного коефіцієнта кореляції вказує напрямок зв'язку - знак плюс свідчить про прямий зв'язок, знак мінус- обернений зв'язок.

За шкалою Чеддока, якщо:

1)	г
2)	г
3)	г
4)	г
5)	г

= 0,1-0,3, то зв'язок слабкий;

= 0,3-0,5, то зв'язок помірний;

= 0,5 - 0,7, то зв'язок помітний;

= 0,7 - 0,9, то зв'язок високий;

= 0,9 - 0,99, то зв'язок надто високий.

Теоретичне кореляційне відношення використовується для вимірювання щільності зв'язку між ознаками за будь-якої форми зв'язку, як лінійної, так І нелінійної.

де - дисперсія, визначена для теоретичних значень результативної ознаки, які отримані за рівнянням регресії;

- дисперсія, що визначена для емпіричних значень результативної ознаки.

Теоретичне кореляційне відношення змінюється від 0 до 1: що ближче щ до 1, то тісніший зв'язок між ознаками

Індекс кореляції

де - остаточна дисперсія, міра коливання емпіричних значень

Перевірку істотності зв'язку в кореляційно-регресійному аналізі здійснюють за допомогою тих самих критеріїв І за тими процедурами, що і в аналітичному групуванні та дисперсійному аналізі.

Розв'язок типової задачі

За наведеними даними про вартість основних фондів та випуск продукції підприємствами галузі дати кількісну характеристику взаємозв'язку між цими показниками, використовуючи такі методи:

• метод аналітичного групування;

• дисперсійний аналіз;

• кореляційний аналіз.