- •Лінійна алгебра та аналітична геометрія
- •I Елементи лінійної алгебри
- •Визначники, їх обчислення та властивості
- •Визначником 3-го порядку – називається число, яке ставиться у відповідність матриці розмірами (3х3) за таким законом:
- •Дослідження систем за допомогою рангів
- •Іі Елементи векторної алгебри
- •Базис. Прямокутна система координат.
- •Розклад вектора за базисними векторами.
- •Лінійні операції над векторами заданими координатами.
- •Напрямні косинуси вектора
- •Скалярний добуток векторів
- •Скалярний добуток в координатах
- •Застосування скалярного добутку
- •Векторний добуток векторів
- •Властивості векторного добутку
- •Векторний добуток в координатах
- •Застосування векторного добутку
- •Мішаний добуток векторів
- •Мішаний добуток в координатах
- •Застосування мішаного добутку
- •III Аналітична геометрія
- •Дослідження загального рівняння
- •Площина
- •1.Рівняння площини через нормальний вектор і точку.
- •2.Загальне рівняння площини.
- •6.Умови паралельності та перпендикулярності площин.
- •Пряма в просторі
- •4.Загальне рівняння прямої.
- •Кут між прямими в просторі
- •Взаємне розміщення прямої та площини в просторі
- •Лінії другого порядку.
- •4. Парабола
- •Поверхні другого порядку
Площина
1.Рівняння площини через нормальний вектор і точку.
Нехай площина проходить через т.M (x0,y0,z0) ┴ (A,B,C). Знайдемо рівняння площини.
M(x,y,z) і розглянемо вектор
:
(x-x0;y-y0;z-z0)
α ┴; =0;
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, (1)
2.Загальне рівняння площини.
В рівності (1) розкриємо дужки,
-A x0-B y0-C z0=D, Ax+By+Cz+D=0; (2)
а) якщо D=0;А,В,С0,-то площина проходить через початок координат.
б) якщо А=0 – то площина ║ осі ОХ.
в) якщо А=0, D=0 - то площина проходить через вісь ОХ.
г) якщо В=0 – то площина ║ осі ОY.
д) якщо В=0, D=0 - то площина проходить через вісь ОY.
е) якщо С=0 - площина ║ осі ОZ.
є) якщо С=0, D=0 - то площина проходить через вісь ОZ.
ж) якщо А=0, В=0 – то площина ║ площині XOY.
з) якщо В=0, С=0– то площина ║ площині YOZ.
и) якщо А=0, С=0– то площина ║ площині XOZ.
ї) якщо А=0, В=0, D=0 – тоді Z=0 – рівняння площини XOY.
й) якщо В=0, С=0, D=0 – тоді X=0- рівняння площини YOZ.
к) якщо А=0, С=0, D=0– тоді Y=0- рівняння площини XOZ.
3.Рівняння площини через 3 точки.
Нехай площина α визначається точками М1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3).
Візьмемо в площині α т.M(x,y,z)
α І розглянемо вектори:
, , .
(x2-x1;y2-y1;z2-z1);
(x3-x1;y3-y1;z3-z1);
(x-x1;y-y1;z-z1 );
Розглянемо їх мішаний добуток: =0, бо вектори компланарні:
(3)
4.Рівняння площини у відрізках на осях координат.
Нехай площина відсікає від осі ОХ відрізок величиною а,- від 0Y – b, від 0Z - c
(4)
5.Кут між площинами.
Нехай площини α1 і α2 задані рівняннями:
α1:A1x+B1y+C1z+D=0;(A1;B1;C1);
α2: A2x+B2y+C2z+D=0;(A2;B2;C2);
Кут між площинами рівний кутові нормальними векторами:
Cosφ=; (5)
6.Умови паралельності та перпендикулярності площин.
Площина α1 ║ площині α2, якщо ║ =>;
α1 ┴ α2, якщо =0,=> А1А2+В1В2+С1С2=0;
Якщо в площинах пропорційні коефіцієнти при їх невідомих на вільні члени, то такі площини співпадають.
7.Відстань від точки до площини.
Знайдемо відстань т.M0(x0;y0;z0) до площини α, заданої рівнянням Ax+By+Cz+D=0; (A;B;C);
M0
d
α
Нехай проекцію т.M0 у площині α є точка М з невідомими координатами(x;y;z), розглянемо вектор :
(x-x0;y-y0;z-z0). Знайдемо скалярний добуток векторів за означенням: =cosφ=d;
φ:0;1800; cos0=1; cos180= -1;
Розглянемо скалярний добуток цих векторів в координатній формі:
=А(x-x0)+В(y-y0)+С(z-z0)=Ax+By+Cz-A x0-B y0-C z0+-(A x0+B y0+C z0+D); Ax+By+Cz=-D;
Прирівняємо скалярні добутки по модулю:=d;
D=; (7)
Наприклад: знайти відстань між паралельними площинами:
α1:x-2y+2z+5=0;
α2:2x-4y+4z-7=0;
n1(1;-2;2);
візьмемо довільну точку, що є площині α2, М0(;0;0);
Знайдемо відстань т. М0 до площини α1:
D====2=2(лін.од.)