- •Статика твердого тіла
- •Аксіоми статики вільного твердого тіла
- •Дві найпростіші теореми статики
- •Вільні і невільні тіла. В’язі і їх реакції
- •Класифікація сил. Метод перерізів
- •Системи збіжних сил і умови їх рівноваги
- •Зведення до рівнодіючої і геометричні умови рівноваги збіжних сил
- •Аналітичні умови рівноваги систем збіжних сил
- •Теорема Варіньона (терема про момент рівнодіючої збіжної системи сил)
- •Питання для самоконтролю
- •Довільна просторова система сил і умови її рівноваги
- •Теорема про паралельний перенос сили
- •Основна теорема статики (теорема Пуансо)
- •1.8.3. Залежність головного вектора і головного момента від вибору центра зведення
- •1.8.4. Умови рівноваги довільної просторової системи сил
- •1.9. Окремі випадки рівноваги систем сил
- •1.9.1. Умови рівноваги просторової системи паралельних сил
- •1.9.2. Умови рівноваги плоскої системи сил
- •1.9.3. Умови рівноваги плоскої системи паралельних сил
- •Питання для самоконтролю
- •1.10. Тертя
- •1.10.1. Зчеплення і тертя ковзання
- •1.10.2. Рівновага гнучкої нитки на негладкій циліндричній поверхні
- •1.10.3. Тертя кочення
- •1.11. Центр паралельних сил. Центр ваги тіла
- •1.11.1. Рівнодіюча систем двох паралельних сил, які не утворюють пару
- •1.11.2. Центр паралельних сил
- •1.11.3 Центр ваги твердого тіла
- •Питання для самоконтролю
-
Аналітичні умови рівноваги систем збіжних сил
В основу аналітичних умов рівноваги систем сил покладено поняття проекції вектора на вісь.
Оберемо декартову прямокутну систему координат Oxyz, в якій розташована система збіжних сил (рис. 1.12), і спроектуємо на осі Ox, Oy і Oz вектори, що знаходяться в правій і лівій частинах рівняння (1.4).
-
; ,
(1.6)
Тут - проекції рівнодіючої на координатні осі х, у, z;
- проекції сили на ті ж осі.
Рис. 1.12
Рівність нулю вектора рівнодіючої можлива тільки тоді, коли кожна з її проекцій на координатні осі буде дорівнювати нулю, тобто . З цього виходить, що і праві частини рівнянь (1.6) повинні дорівнювати нулю:
-
; , .
(1.7)
Отже, для рівноваги просторової системи збіжних сил, прикладених до матеріальної точки або твердого тіла, необхідно і досить, щоб алгебраїчні суми проекцій всіх сил цієї системи на три взаємно перпендикулярні осі були рівними нулю.
Очевидно, що для рівноваги плоскої системи збіжних сил, розташованих, наприклад, в площині хОу, будемо мати тільки два рівняння:
-
; .
(1.8)
Умови рівноваги (1.7) і (1.8) називають також рівняннями рівноваги, так як вони дозволяють знаходити і невідомі сили, що зрівноважують задані. Потрібно мати на увазі, що кількість невідомих сил не повинна перевищувати кількість рівнянь рівноваги. У противному випадку задача стає статично невизначеною, і розв’язати її методами статики абсолютно твердого тіла неможливо.
-
Теорема Варіньона (терема про момент рівнодіючої збіжної системи сил)
Момент рівнодіючої системи збіжних сил відносно довільного просторового центра дорівнює векторній сумі моментів сил складових відносно того ж центра.
Розглянемо просторову систему збіжних сил , лінії дії яких перетинаються в точці С (рис.1.13)
З довільно обраного моментного центра А проведемо до точки сходу С радіус-вектор і підсумуємо моменти кожної сили відносно центра А:
Рис.1.13
.
Але і тому , або , що і потрібно було довести.
Теорема Варіньона справедлива не тільки для систем збіжних сил, вона узагальнюється і на будь-яку систему сил, що зводиться до рівнодіючої.
Для плоскої системи збіжних сил теорема формулюється так: момент рівнодіючої відносно точки площини, де розташована система сил, дорівнює алгебраїчній сумі моментів складових відносно тієї ж точки. Тобто:
. (1.9)
Приклад практичного використання теореми Варіньона
Визначити моменти сил і , які розташовані в площині xAy, відносно точок А, В, D плоскої рамної конструкції АВСD, якщо відомі кути α, β і розміри а,b,c елементів рами.
Розв'язок.
Розкладемо сили і на складові, напрямлені вздовж координатних осей x і y. Модулі проекцій сил будуть:
,
,
,
.
Згідно з теоремою Варіньона для моментів сили відносно точок А, B і D справедливі рівняння:
-
(1)
(2)
(3)
Проаналізуємо ці рівняння. Оскільки лінії дії складових сили перетинають моментну точку А (як і лінія дії самої сили ), то і момент сили відносно точки А .
Якщо за моментну точку взяти точку В, - рівняння (2) -, то складова сили перетинає цю точку і .а . Таким чином .
Для моментної точки D (рівняння 3) , , тому .
Пропонується моменти сили відносно точок А, В, D визначити самостійно.