Лабораторная работа №1 Численное интегрирование
а) Пусть отрезок интегрирования [a, b] разбит на n частей с шагом h=(b–a)/n.
Тогда (формула левых прямоугольников); (7.11)
(формула правых прямоугольников); (7.12)
(формула средних прямоугольников), (7.13)
где (i= 0, 1, 2,…,n).
Остаточные члены этих формул соответственно равны
; (7.14)
; (7.15)
, (7.16)
где .
б) Формула Ньютона – Котеса
(7.17)
где
Коэффициенты определены заранее и могут быть взяты из таблицы (табл.44).
Таблица 44
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 4 5 6 |
1 1 1 7 19 41 |
1 4 3 32 75 216 |
1 3 12 50 27 |
1 32 50 272 |
7 75 27 |
19 216 |
41 |
2 6 8 90 288 840 |
в) Формула трапеций имеет вид
(7.18)
где причём
, a b. (7.19)
г) Формула Симпсона (число n – обязательно чётное)
(7.20)
причём
, a b. (7.21)
д) Формула Гаусса
(7.22)
где (7.23)
Значения ti и Ci берутся из таблицы (табл.45)
Таблица 45
n |
|
|
1 |
|
С1 = 2,000000 |
2 |
|
С1 =С2 =1,000000 |
3 |
|
|
4 |
|
|
е) Экстраполяция по Ричардсу
Пусть и – два приближённых значения , найденных по одной и той же формуле при n1 и n2 (n2 n1). Тогда более точное значение этого интеграла можно найти по формуле:
(7.24)
где m порядок остаточного члена выбранной формулы (например, для формулы трапеции m = 2, для формулы Симпсона m = 4).