2. Экспериментальная часть

В качестве примера рассматриваются данные по личному располагаемому доходу и совокупным личным расходам населения некоторого региона нашей страны за 1970-1994 гг.

Таблица 1

№ п/п	Показатели	Совокупные личные расходы (у)	Расходы на жилье ()	Расходы на питание (w)	Личный располагаемый доход (х)
1.	1970	440,4	264,24	176,16	479,7
2.	1971	452	271,2	180,8	489,7
3.	1972	461,4	322,98	138,42	503,8
4.	1973	482	385,6	96,4	524,9
5.	1974	500,5	300,3	200,2	542,3
6.	1975	528	264	264	580,8
7.	1976	557,5	390,25	167,25	616,3
8.	1977	585,7	351,42	234,28	646,8
9.	1978	602,7	482,16	120,54	673,5
10.	1979	634,4	444,08	190,32	701,3
11.	1980	657,9	592,11	65,79	722,5
12.	1981	672,1	403,26	268,84	751,6
13.	1982	696,8	418,08	278,72	779,2
14.	1983	737,1	515,97	221,13	810,3
15.	1984	768,5	614,8	153,7	865,3
16.	1985	763,6	534,52	229,08	858,4
17.	1986	780,2	390,1	390,1	875,8
18.	1987	823,1	411,55	411,55	906,8
19.	1988	864,3	691,44	172,86	942,9
20.	1989	903,2	541,92	361,28	988,8
21.	1990	927,6	649,32	278,28	1015,5
22.	1991	931,8	559,08	372,72	1021,6
23.	1992	950,9	475,45	475,45	1049,3
24.	1993	963,3	674,31	288,99	1058,3
25.	1994	1009,2	605,52	403,68	1095,4

Демонстрация вычисления выборочного коэффициента корреляции на примере данных таблицы 1. Для его вычисления сначала найдем средние (для рассматриваемого выборочного периода) значения показателей дохода и расходов и . Затем вычисляются отклонения величин от их средних и перемножаются. Средняя величина этого произведения будет выборочной ковариацией. Данные вычислений приведены в таблице 2.

Таблица 2

№ п/п	x	y
1	479,7	440,4	-300,332	-267,368	80299,17
2	489,7	452	-290,332	-255,768	74257,63
3	503,8	461,4	-276,232	-246,368	68054,73
4	524,9	482	-255,132	-225,768	57600,64
5	542,3	500,5	-237,732	-207,268	49274,24
6	580,8	528	-199,232	-179,768	35815,54
7	616,3	557,5	-163,732	-150,268	24603,68
8	646,8	585,7	-133,232	-122,068	16263,36
9	673,5	602,7	-106,532	-105,068	11193,1
10	701,3	634,4	-78,732	-73,368	5776,409
11	722,5	657,9	-57,532	-49,868	2869,006
12	751,6	672,1	-28,432	-35,668	1014,113
13	779,2	696,8	-0,832	-10,968	9,125376
14	810,3	737,1	30,268	29,332	887,821
15	865,3	768,5	85,268	60,732	5178,496
16	858,4	763,6	78,368	55,832	4375,442
17	875,8	780,2	95,768	72,432	6936,668
18	906,8	823,1	126,768	115,332	14620,41
19	942,9	864,3	162,868	156,532	25494,05
20	988,8	903,2	208,768	195,432	40799,95
21	1015,5	927,6	235,468	219,832	51763,4
22	1021,6	931,8	241,568	224,032	54118,96
23	1049,3	950,9	269,268	243,132	65467,67
24	1058,3	963,3	278,268	255,532	71106,38
25	1095,4	1009,2	315,368	301,432	95062,01
Сумма	19500,8	17694,2			862842
Среднее	780,032	707,768			34513,68

В данном случае ковариация положительна. Построим диаграмму рассеивания (см. Рис.2). Видно, что положительные вклады доминируют над отрицательными, что подтверждает расчетное значение ковариации Cov (х, y) = 34513,68

Р ис. 2.

Демонстрация и доказательство 1 правила ковариации

Обратимся снова к данным Таблицы 1, заметим, что совокупные личные расходы делятся на две части: расходы на жилье и расходы на питание. Рассчитаем Cov (х, ) и Cov (х, w). Расчетные данные приведены в таблицах 3 и 4.

Таблица 3

№ п/п	x	
1	479,7	264,24	-300,332	-197,906	59437,625
2	489,7	271,2	-290,332	-190,946	55437,85
3	503,8	322,98	-276,232	-139,166	38442,213
4	524,9	385,6	-255,132	-76,5464	19529,436
5	542,3	300,3	-237,732	-161,846	38476,068
6	580,8	264	-199,232	-198,146	39477,104
7	616,3	390,25	-163,732	-71,8964	11771,741
8	646,8	351,42	-133,232	-110,726	14752,3
9	673,5	482,16	-106,532	20,0136	-2132,0888
10	701,3	444,08	-78,732	-18,0664	1422,4038
11	722,5	592,11	-57,532	129,9636	-7477,0658
12	751,6	403,26	-28,432	-58,8864	1674,2581
13	779,2	418,08	-0,832	-44,0664	36,663245
14	810,3	515,97	30,268	53,8236	1629,1327
15	865,3	614,8	85,268	152,6536	13016,467
16	858,4	534,52	78,368	72,3736	5671,7743
17	875,8	390,1	95,768	-72,0464	-6899,7396
18	906,8	411,55	126,768	-50,5964	-6414,0044
19	942,9	691,44	162,868	229,2936	37344,59
20	988,8	541,92	208,768	79,7736	16654,175
21	1015,5	649,32	235,468	187,1736	44073,393
22	1021,6	559,08	241,568	96,9336	23416,056
23	1049,3	475,45	269,268	13,3036	3582,2338
24	1058,3	674,31	278,268	212,1636	59038,341
25	1095,4	605,52	315,368	143,3736	45215,445
Сумма	19500,8	11553,66			507176,37
Среднее	780,032	462,1464			20287,055

Таблица 4

№ п/п	x	w
1	479,7	176,16	-300,332	-69,4616	20861,5413
2	489,7	180,8	-290,332	-64,8216	18819,7848
3	503,8	138,42	-276,232	-107,202	29612,5124
4	524,9	96,4	-255,132	-149,222	38071,2053
5	542,3	200,2	-237,732	-45,4216	10798,1678
6	580,8	264	-199,232	18,3784	-3661,56539
7	616,3	167,25	-163,732	-78,3716	12831,9388
8	646,8	234,28	-133,232	-11,3416	1511,06405
9	673,5	120,54	-106,532	-125,082	13325,193
10	701,3	190,32	-78,732	-55,3016	4354,00557
11	722,5	65,79	-57,532	-179,832	10346,0716
12	751,6	268,84	-28,432	23,2184	-660,145549
13	779,2	278,72	-0,832	33,0984	-27,5378688
14	810,3	221,13	30,268	-24,4916	-741,311749
15	865,3	153,7	85,268	-91,9216	-7837,97099
16	858,4	229,08	78,368	-16,5416	-1296,33211
17	875,8	390,1	95,768	144,4784	13836,4074
18	906,8	411,55	126,768	165,9284	21034,4114
19	942,9	172,86	162,868	-72,7616	-11850,5363
20	988,8	361,28	208,768	115,6584	24145,7729
21	1015,5	278,28	235,468	32,6584	7690,00813
22	1021,6	372,72	241,568	127,0984	30702,9063
23	1049,3	475,45	269,268	229,8284	61885,4336
24	1058,3	288,99	278,268	43,3684	12068,0379
25	1095,4	403,68	315,368	158,0584	49846,5615
Сумма	19500,8	6140,54			355665,624
Среднее	780,032	245,6216			14226,6249

Таким образом Cov(х,)=20287,055 и Cov(х,w)=14226,6249 , а Cov (х, )+Cov (х, w)= 34513,68. Видно, что Cov(х,y) является суммой Cov (х, v) и Cov (х, w).

Покажем, что именно так и должно быть. Рассмотрим i-ый показатель, —это его вклад в величину Соv(х,y). Поскольку y_i=v_i+w_i, и , то

= =+,

Таким образом, показано, что вклад, показателя i в Cov(x, y) является суммой его вкладов в Cov(x, ) и Cov(x, w). То же самое справедливо для всех показателей и, соответственно, для ковариации в целом.

Демонстрация и доказательство 2 правила ковариации

Для доказательства второго правила ковариации увеличим y в 10 раз, обозначив полученное число z и рассчитаем Cov(x, z). Для вычисления Cov(x, z), как и ранее, необходимы значения , а также рассчитанные в таблице 5.

Таблица 5

№ п/п	x	z
1	479,7	4404	-300,332	-2673,68	802991,66
2	489,7	4520	-290,332	-2557,68	742576,35
3	503,8	4614	-276,232	-2463,68	680547,25
4	524,9	4820	-255,132	-2257,68	576006,41
5	542,3	5005	-237,732	-2072,68	492742,36
6	580,8	5280	-199,232	-1797,68	358155,38
7	616,3	5575	-163,732	-1502,68	246036,8
8	646,8	5857	-133,232	-1220,68	162633,64
9	673,5	6027	-106,532	-1050,68	111931,04
10	701,3	6344	-78,732	-733,68	57764,094
11	722,5	6579	-57,532	-498,68	28690,058
12	751,6	6721	-28,432	-356,68	10141,126
13	779,2	6968	-0,832	-109,68	91,25376
14	810,3	7371	30,268	293,32	8878,2098
15	865,3	7685	85,268	607,32	51784,962
16	858,4	7636	78,368	558,32	43754,422
17	875,8	7802	95,768	724,32	69366,678
18	906,8	8231	126,768	1153,32	146204,07
19	942,9	8643	162,868	1565,32	254940,54
20	988,8	9032	208,768	1954,32	407999,48
21	1015,5	9276	235,468	2198,32	517634,01
22	1021,6	9318	241,568	2240,32	541189,62
23	1049,3	9509	269,268	2431,32	654676,67
24	1058,3	9633	278,268	2555,32	711063,79
25	1095,4	10092	315,368	3014,32	950620,07
Сумма	19500,8	176942			8628420
Среднее	780,032	7077,68			345136,8

Из Таблицы 5 видно, что Cov(x, z)=345136,8, что в точности равно удесятеренной Cov(x,y). Таким образом проверено, что Соv(х,10y) совпадает с 10Cov(x,y). Для доказательства рассмотрим первый показатель. Поскольку z_i =10y₁ и =10, а = и, следовательно, равно 10, то вклад первого показателя в величину Cov(x,z) в точности равен удесятеренной величине его вклада в Cov(x,y). То же самое справедливо для всех других показателей. Средняя величина поэтому равна удесятеренной средней величине 10 и, таким образом, Cov(x, z) = 10Cov(x, y). Обобщая, получим, что если z=аy (и отсюда z=аy), то

Демонстрация и доказательство 3 правила ковариации

Поскольку каждый показатель в выборке имеет два пути расходования (жилье и питание), предположим, что надо вычислить ковариацию между личным располагаемым доходом и числом путей расходования (а). Естественно, что a₁ = a₂ =... = a₂₀ = 2. Таким образом, a = 2. Отсюда (а-а)=0 и, следовательно, (x-x)(a-a)=0. Поэтому Cov(x,a)==0.

Таблица, обычно используемая в таких случаях будет выглядеть так:

Таблица 6

№ п/п	x	a
1	479,7	2	-300,332	0	0
2	489,7	2	-290,332	0	0
3	503,8	2	-276,232	0	0
4	524,9	2	-255,132	0	0
5	542,3	2	-237,732	0	0
6	580,8	2	-199,232	0	0
7	616,3	2	-163,732	0	0
8	646,8	2	-133,232	0	0
9	673,5	2	-106,532	0	0
10	701,3	2	-78,732	0	0
11	722,5	2	-57,532	0	0
12	751,6	2	-28,432	0	0
13	779,2	2	-0,832	0	0
14	810,3	2	30,268	0	0
15	865,3	2	85,268	0	0
16	858,4	2	78,368	0	0
17	875,8	2	95,768	0	0
18	906,8	2	126,768	0	0
19	942,9	2	162,868	0	0
20	988,8	2	208,768	0	0
21	1015,5	2	235,468	0	0
22	1021,6	2	241,568	0	0
23	1049,3	2	269,268	0	0
24	1058,3	2	278,268	0	0
25	1095,4	2	315,368	0	0
Сумма	19500,8	50			0
Среднее	780,032	2			0

Для расчета выборочной дисперсии x и y воспользуемся соотношениями и . Полученные результаты приведены в таблице 6.

Таблица 6

№ п/п	x	y
1	479,7	440,4	90199,31	71485,65
2	489,7	452	84292,67	65417,27
3	503,8	461,4	76304,12	60697,19
4	524,9	482	65092,34	50971,19
5	542,3	500,5	56516,5	42960,02
6	580,8	528	39693,39	32316,53
7	616,3	557,5	26808,17	22580,47
8	646,8	585,7	17750,77	14900,6
9	673,5	602,7	11349,07	11039,28
10	701,3	634,4	6198,728	5382,863
11	722,5	657,9	3309,931	2486,817
12	751,6	672,1	808,3786	1272,206
13	779,2	696,8	0,692224	120,297
14	810,3	737,1	916,1518	860,3662
15	865,3	768,5	7270,632	3688,376
16	858,4	763,6	6141,543	3117,212
17	875,8	780,2	9171,51	5246,395
18	906,8	823,1	16070,13	13301,47
19	942,9	864,3	26525,99	24502,27
20	988,8	903,2	43584,08	38193,67
21	1015,5	927,6	55445,18	48326,11
22	1021,6	931,8	58355,1	50190,34
23	1049,3	950,9	72505,26	59113,17
24	1058,3	963,3	77433,08	65296,6
25	1095,4	1009,2	99456,98	90861,25
Сумма	19500,8	17694,2	951199,7	784327,6
Среднее	780,032	707,768	38047,99	31373,1

Таким образом Var(x)=38047,99 , а Var(y)= 31373,1.

Вычисление выборочного коэффициента корреляции рассмотрим на примере данных из таблицы 1. Ранее была рассчитана Cov(x,y)= 34513,68 , поэтому можно рассчитать коэффициент корреляции по формуле:

Подставив в формулу необходимые значения, получим: r_x,y=0,99896.

Покажем, что коэффициент корреляции, в отличие от ковариации, не зависит от единиц, в которых измеряются переменные х и y. Допустим, что единица измерения одной из переменных изменилась: пересчитаем значения переменной y (совокупные личные расходы) в долларах по курсу 1:20. Т. е. для переменной y вводится постоянный коэффициент перерасчета а=1/20. Воспользовавшись 2 правилом расчета ковариации получим: Y=1/20y, Cov(x,Y)=1/20Cov(x,y). Исполь-зуя 2 правило расчета дисперсии: Y=1/20y, Var(Y)=1/400Var(y).

Подставляем полученные выражения в формулу коэффициента корреляции:

Т.о. мы доказали, что величина коэффициента корреляции не зависит от единиц измерения переменных.

Вывод

Коэффициент корреляции является более подходящим измерителем зависимости, чем ковариация. Основная причина этого заключается в том, что ковариация зависит от единиц, в которых измеряются переменные х и y, в то время как коэффициент корреляции есть величина безразмерная.