ВВЕДЕНИЕ

Настоящее методическое пособие предназначено для использования студентами всех специальностей и форм обучения в качестве основного учебного материала для изучения теоретического курса начертательной геометрии. Тематика Пособия ориентирована на максимальную взаимоувязку с практическим курсом инженерной графики и служит его теоретическим обоснованием. Авторы стремились к наибольшей лаконичности и простоте изложения материала, для чего широко использовали динамические (поэтапные) модели построения изображений средней и выше сложности и насыщенности.

В настоящее время «ручное» черчение , которое много десятилетий являлось основой процесса графического оформления чертежей, сменяется «машинным» (компьютерным). Увеличение мощности персональных компьютеров, разработка современного программного обеспечения для работы с графическими изображениями, появление высокоточных и высокопроизводительных переферийных устройств машинной графики позволили быстро и с хорошим качеством создавать различные чертежи, рисунки, фотографии, иллюстрации.

Персональные компьютеры с соответствующими графическими редакторами применяются для оформления практически всей графической документации, выпускаемой в нашей республике в электронном виде.

Планируемая электронная версия настоящего методического пособия взамен ранее разработанной, может оказаться полезной и для студентов других ВУЗов страны.

Раздел 1. Предмет начертательной геометрии. Проецирование точки

1.1 Предмет начертательной геометрии

Начертательная геометрия (НГ) изучает методы изображения на плоскости пространственных объектов и алгоритмы решения позиционных, метрических и конструкторских задач. Под пространственными объектами следует понимать трехмерные объекты, т.е. имеющие три измерения – длину, ширину и толщину. Плоскость, как подсказывает здравый смысл, имеет два измерения (длину и ширину), если она ограничена. Позиционная задача – это задача на определение взаимного расположения геометрических объектов: за или перед объектом, слева или справа от него, сверху или снизу от него, какой из объектов видимый, какой – невидимый и др. Под метрическими понимаются задачи на определение действительных величин длин отрезков, углов наклона, плоских фигур, площадей и др. С этими пояснениями начальную формулировку предмета НГ следует понимать так. НГ – это наука, изучающая и устанавливающая методы изображения в двухмерном измерении трехмерных объектов и способы решения указанных выше задач.

Остается пояснить термин «конструкторские задачи». Под ними следует понимать задачи на принятие конкретного инженерного решения по осмыслению, изображению и созданию конкретного изделия, выраженного графическими методами.

В основу НГ положен метод проекций, т.е. точек, полученных пересечением проецирующих лучей с плоскостями проекций.

1.2 Наиболее употребительные теоретико-множественные символы и обозначения

А, В, С … a, b, c, l, m, n … , , , … Ф1, Ф2, … ||  . а ,  /    

- - - - - - - - - - - - -

точка; линия; плоскость; поверхность; параллельность; перпендикулярность; скрещиваемость; «принадлежит», «содержится» (первый знак применяется по отношению к точке, второй – по отношению к множеству точек); знак отрицания, противоположности (эквивалентный отрицанию «не»); пересечение объектов (множеств); «отражает» (ся) «если … то»; обратимость («справедливо прямое и обратное утверждение»).

Приведем несколько примеров, поясняющих применение символов.

l || m l || m a  b m . n А  l l   А  l А  А (А  l)  (А  l) (l  m = K)  (l  m = K)

- - - - - - - - - -

прямая l параллельна прямой m. прямая l не параллельна прямой m. прямая a перпендикулярна прямой b. прямая m не параллельна и не пересекается с прямой n (т.е. они скрещивающееся). точка А принадлежит прямой l. прямая l принадлежит (содержится) в плоскости  точка А не принадлежит прямой l. точка А отображается проекцией А (другими словами, проекция точки А есть точка А). если точка А принадлежит прямой l, то проекция А точки А принадлежит проекции l прямой l (обратное утверждение не всегда справедливо). если прямые l и m пересекаются в точке К, то их проекции l и m пересекаются в точке К (справедливо обратное утверждение, если при этом одновременно выполняется условие l  m = K)

1.3 Модели проецирования

1.3.1 Модель центрального проецирования

1.3.1.1 Основные термины и определения (рис. 1а)

Рис. 1а Рис. 1б

 S   А   SA В   SB SA   = A SВ   = В АВ АВ  = АSB

- - - - - - - - - - -

плоскость проекций; центр проецирования; точка в пространстве; проецирующий луч; точка в пространстве, аналогичная А; проецирующий луч, аналогичный SA; центральная проекция точки А на плоскость  (рис. 1б); центральная проекция точки В на плоскость ; отрезок в пространстве (рис. 1в); центральная проекция отрезка АВ на плоскость ; проецирующая плоскость (не путать с плоскостью проекций).

1.3.1.2 Основные свойства центрального проецирования

1. Любая точка (С, рис. 1в), кроме центра проецирования S, однозначно отображается своей проекцией (С_).

2. Любой проецирующий луч (SA, SB …) является проецирующим для каждой своей точки. Другими словами, точки B, D или любая другая, принадлежащие проецирующему лучу, на плоскости проекций  отображаются в одно и тоже место (B_ = D_).

3. Проекция точки (Е), лежащей в плоскости

Рис. 1в проекций (), совпадает с прообразом, т.е. с самой точкой (Е_ = Е).

4. Проекция прямой (или отрезка АВ), не проходящей через центр проецирования S, есть прямая (А_В_).

1.3.2 Модель параллельного проецирования

Задайте себе вопрос: что произойдет с величиной угла при вершине S (рис. 1), если центр проецирования S, отнести дальше от плоскости проекций ? Очевидно, что угол уменьшится пропорционально увеличению расстояния от А до . Ну а если центр проецирования S удалить в бесконечность, то угол между проецирующими лучами станет равным нулю, т.е. проецирующие лучи станут параллельны друг другу. Таким образом, мы подошли к сути модели параллельного проецирования (рис. 2). Если проецирующие лучи SA, SB … параллельны между собой и не перпендикулярны плоскости проекций , то имеет место модель параллельного косоугольного проецирования. Если проецирующие лучи SA, SB … параллельны между собой и перпендикулярны плоскости проекций , - модель носит название модели параллельного ортогонального проецирования. Именно эта модель является основой практически всей НГ, инженерной графики и конструкторской деятельности в промышленности. Применительно к модели параллельного ортогонального проецирования сформулируем некоторые основополагающие моменты.

П

Рис. 2

роекция точки, - это основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость проекций. Если объект представляет собой совокупность точек, его отображение на каждую плоскость проекций представляет собой тоже совокупность точек, отображающих геометрическую сущность объекта. Изображение, полученное методом проецирования, называется чертежом. В этом и заключается сущность и внутреннее единство двух направлений нашей дисциплины – начертательной геометрии и инженерной графики.

К чертежу, как к единственному средству передачи графической информации, представляются следующие требования: наглядность, простота, удобство чтения размеров и обратимость. Под обратимостью следует понимать возможность однозначного и исчерпывающего понимания предмета по его проекциям, равным счетом как и решение обратной задачи – построения проекций предмета (минимального числа) по его наглядному изображению.

1.3.3 Инварианты параллельного проецирования

Под инвариантами понимаются неизменные свойства, своего рода графические аксиомы, на которых базируется вся НГиИГ. Перечислим основные из них.

1. Проекция точки есть точка.

2. Проекция прямой, не перпендикулярной плоскости проекций, есть прямая. Имейте в виду, что если прямая перпендикулярна плоскости проекций, то ее проекция на эту плоскость есть точка (рис. 3).

3. Если точка (С, рис. 2) принадлежит прямой (отрезок АВ), то проекция (С_) этой точки принадлежит проекции (А_В_) этой прямой.

4. О

   Рис. 67б

   трезок прямой, параллельной плоскости проекций, проецируется на

ее в действительную величину.

5. Проекции параллельных прямых параллельны (или совпадают).

6. Отношение длин параллельных отрезков равно отношению длин их проекций.

7. Если точка (С, рис2) делит отрезок в каком-то отношении (например АС : СВ = 1 : 2), то проекция (С_) точки (С) делит проекцию (А_В_) отрезка в том же отношении (А_С_ : С_В_ = 1 : 2).

8. Если прямые пересекаются в пространстве, то их проекции тоже пересекаются, причем точка пересечения проекций (С_, рис. 4) есть проекция точки (С) пересечения прообразов (линий l и m).

Н

Рис. 4

е смотря на абсолютную очевидность некоторых из этих свойств, относиться к ним свысока не следует, ибо решение любой графической задачи в большинстве случаев сводится именно к своевременному использованию одного или нескольких из перечисленных инвариантов.

1.4 Точка в системе двух плоскостей проекций. Эпюр Г. Монжа.

Идея построения изображений методом проецирования предполагает наличие системы плоскостей, на которые проецируется объект. Рассмотрим элементарный геометрический объект – точку в системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей (рис. 5). Отметим, что плоскости проекций, как

Рис. 5

и плоскости – геометрические объекты проецирования, считаются в НГ бесконечными, непрозрачными и бесконечно тонкими. А коль так, плоскости на изображениях искусственно ограничиваются какими-то линиями.

Две взаимно перпендикулярные плоскости проекций: Н – горизонтальная и V – фронтальная, пересекаясь по оси х делят пространство на 4 четверти. Считается, что мы находимся в первой четверти и бесконечно удалены от нее (от каждой плоскости проекций), рис. 5.

А – точка в пространстве;

А’ – основание перпендикуляра, опущенного из точки А на горизонтальную плоскость проекций Н, т.е. А’ – горизонтальная проекция точки А. Аналогично, А’’ – фронтальная проекция точки А. Нетрудно видеть, что АА’ = А’’А_x – это расстояние от точки до горизонтальной плоскости проекций Н. Такое изображение (и восприятие) точки и ее проекций вполне посильно любому студенту. Однако, если речь идет об объекте, представляющем собой совокупность нескольких точек (или нескольких десятков точек), такое изображение становится не только трудоемким, но и проблематичным.

Ф

Рис. 6 (а,б)

ранцузский геометр Гаспар Монж, по праву считающийся основоположником НГ, предложил принципиально новый (по своему времени) метод изображения объектов: развернуть горизонтальную плоскость проекций Н вокруг оси х до совмещения с фронтальной плоскостью проекций. При этом (рис. 6а) линия А_хА’ становится продолжением линии А’’A_x, перпендикулярной оси х. Точка А, как таковая, как бы исчезает, но остаются ее проекции А’ и A’’, однозначно определяющие положение точки в двухплоскостном пространстве. Поскольку линии, оконтуривающие плоскости проекций V и Н, носят чисто

условный характер (из-за бесконечности плоскостей), их можно убрать без всякой потери информационного смысла. В итоге получится изображение точки А, показанное на рис. 6б и называемое эпюром Г. Монжа, по сути являющееся чертежом точки А в двухплоскостной системе. Специфика дисциплины НГиИГ заключается именно в том, чтобы по проекциям объекта совершенно однозначно и исчерпывающе полно «прочитать» сам геометрический объект: его положение в пространстве, форму, геометрические свойства и т.д.

1.5 Точка в систему трех плоскостей проекций

Двухплоскостная система, рассмотренная выше, не может в полной мере отражать геометрические свойства трехмерного мира. Поэтому в НГиИГ основополагающим является проецирование на три взаимно-перпендикулярные плоскости проекций (рис. 7): фронтальную V, горизонтальную H и профильную W, которые пересекаются по осям абсцисс х, ординат у и аппликат z, исходящих из начала координат 0. Нетрудно заметить, что система трех плоскостей проекций делит пространство на 8 частей, называемых октантами. Считается, что наблюдатель находится в первом октанте и бесконечно удален от плоскостей проекций.

Рассмотрим произвольную точку А и ее проекции в этом системе. А’ и А’’ – соответственно горизонтальная и фронтальная проекции точки А, аналогичные предыдущим (рис. 6). А’’’ – профильная проекция точки А. Расстояние АА’’’ от точки А до профильной плоскости проекций определяется абсциссой Х = ОА_х. Аналогично, расстояние АА’’ от точки А до фронтальной плоскости проекций V определяется ординатой Y = A’A_x, а до горизонтальной плоскости проекций Н – аппликатой Z = AA’ = A_xA’’. Ломанная линия 0А_хА’А, однозначно определяющая положение точки в пространстве, называется

Рис. 7

координатной ломанной линией, по которой и строится чертеж точки в системе трех плоскостей проекций (комплексный чертеж). Для этого, как и в предыдущем случае, горизонтальная плоскость проекций Н разворачивается вокруг оси х до совмещения с продолжением фронтальной, а профильная W, - вокруг оси z, опять-таки до совмещения с продолжением фронтальной плоскости проекций V. При этом ось y как бы лопается вдоль и занимает два положения – вниз от начала координат 0 и вправо от него (рис. 8а); A’A_x становится продолжением A’’A_x, а A’’’A_z – продолжением A’’A_z, Линии A''A_xA’, A’’A_zA’’’ и A’A_yA’’’ называются линиями проекционной связи и являются опорными для построения комплексного чертежа точки, а параметры координатной ломанной линии – его основой.

Отметим еще несколько важных моментов. Во-первых, на рис. 7 и 8а показаны только положительные направления координатных осей, но каждому из них соответствует свое отрицательное направление в противоположную сторону от начала координат 0. Их расположение после разворота плоскостей H и W совпадает с положительными направлениями осей и на рис. 8а показано в скобках.

В о-вторых, любые две проекции содержат все три координаты X, Y, Z координатной ломанной линии. Отсюда следует важный вывод: положение точки в пространстве совершенно однозначно определяется любыми двумя ее проекциями. А отсюда следует еще более практически важный вывод: для элементарных геометрических объектов, таких как точка , прямая и плоскость и их совокупности решение задач следует сводить к двухплоскостным изображениям.

Рис. 8а

Рис. 8б

В-третьих, поскольку расположение и обозначение осей и плоскостей проекций неизменно, а точки A_xA_yA_z являются вспомогательными элементами построений, их впредь без необходимости на комплексном чертеже показывать не следует. Тогда комплексный чертеж точки окончательно примет вид, показанный на рис. 8б.

Его построение в общем случае должно проводиться в следующем порядке. Вдоль оси x откладывается заданное значение X абсциссы, отмечается (но не обозначается) точка А_х. Через нее проводится линия проекционной связи, перпендикулярная оси х. На ней вниз откладывается заданное значение Y ординаты, (получается горизонтальная проекция А’ точки А), а вверх – заданное значение Z, аппликаты (получается фронтальная проекция A’’ точки А), чертеж готов. При необходимости третья проекция точки А строится описанным выше (рис. 8а) способом.

Для наиболее глубокого понимания сущности проецирования точки студентам рекомендуется самостоятельно построить чертежи точек с действительными значениями координат, отличными от нуля, точек, расположенных в каждой из плоскостей проекции V, H, W, когда одна из координат становится равной нулю, и точек, расположенных на каждой из осей х, y, z, - когда равны нулю две координаты. В каждом примере следует обозначить три проекции точки (например A’, A’’, A’’’) и вспомогательные точки (А_х, A_y, A_z), если без них Вы испытываете затруднения.

1.6 Безосный эпюр

В тех случаях, когда объектом рассмотрения является не его положение в пространстве, а его форма, определяющаяся взаимным расположением точек, положение начала координат и координатных осей перестает играть определяющую роль. В самом деле значение Х, Y и Z при расположении начала координат в точке О или в точке О₁ рис. 9а не изменяется, хоть сами координаты X, Y, Z изменяются. Возникает резонный вопрос: а для чего в таком случае наносить оси и начало координат на изображение, если на форму объекта их расположение не влияет? Отсюда – прямой переход к безосному эпюру (эпюру без осей, рис. 9б), строящемуся по разнице X, Y, Z координат без их обозначения на изображении.

В заключение отметим, что все промышленные чертежи по своей сути есть не что иное, как безосные эпюры объектов. Вот в чем и заключается коренная связь между начертательной геометрией и инженерной графикой.

Рис. 9а

Рис. 9б