- •Кафедра математики
- •Кафедра математики
- •Приближенные методы решения дифференциальных уравнений
- •Метод Эйлера
- •2. Метод Рунге-Кутта
- •Содержание ргр "Приближенные методы решения дифференциальных уравнений"
- •Варианты
- •Образец выполнения ргр
- •Точное решение
- •2. Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Эйлера
- •3. Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Рунге-Кутта
- •Литература
- •241037, Г. Брянск, пр. Станке Димитрова, 3, редакционно-издательский
2. Метод Рунге-Кутта
Метод Рунге-Кутта более чаще употребляется, чем метод Эйлера, хотя и требует большего объёма вычислений, однако это окупается повышенной точностью, что даёт возможность проводить счет с большим шагом, т.е. для получения результатов с одинаковой точностью в методе Эйлера потребуется значительно меньший шаг, чем в методе Рунге-Кутта.
Геометрически этот метод для задачи (1),(2) также как и в методе Эйлера состоит в том, что на малом отрезке [] интегральная кривая уравнения (1) заменяется прямой, проходящей через точку , однако в основу положен более тонкий, чем в методе Эйлера, подход к определению направления этого отрезка прямой.
Обозначим через приближенное значение искомого решения в точке . По методу Рунге-Кутта вычисление приближенного значения в следующей точке производится по формулам:
где
(3)
Шаг расчета можно поменять при переходе от одной точки к другой. Для контроля правильности выбора шага рекомендуем вычислить дробь
Величина не должна превышать нескольких сотых. В противном случае шаг следует уменьшить.
Все вычисления удобно располагать по схеме:
0 |
||||
|
||||
|
||||
|
+ |
|||
|
|
|
|
|
1 |
||||
… |
… |
… |
… |
… |
Порядок заполнения таблицы:
1) Записываем в первой строке таблицы данные значения .
2) Вычисляем умножаем на и заносим в таблицу в качестве .
3) Записываем во второй строке таблицы .
4) Вычисляем , умножаем на и заносим в таблицу в качестве .
5) Записываем в третьей строке таблицы .
6) Вычисляем , умножаем на , заносим в таблицу в качестве .
7) Записываем в четвертой строке таблицы .
8) Вычисляем , умножаем на и заносим в таблицу в качестве .
9) В столбец записываем .
10) Суммируем числа, стоящие в столбце , делим на 6 и заносим в таблицу в качестве .
11) Вычисляем .
Затем все вычисления продолжают в том же порядке, принимая за начальную точку .
Содержание ргр "Приближенные методы решения дифференциальных уравнений"
Студенту предлагается выполнить следующую работу:
1 . Точное решение дифференциального уравнения.
2. Приближенное решение дифференциального уравнения методом Эйлера.
3. Приближенное решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта.
Варианты и образец выполнения РГР приведены ниже.
Варианты
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.