1. Теоретичні відомості

Подаючи результат вимірювання будь-якої величини необхідно кількісно оцінити точність. Без такої оцінки результати вимірювань неправомірно порівнювати. У керівному документі ISO такою оцінкою якості результату вважають його невизначеність. Проведемо аналіз результату вимірювання з позиції невизначеності окремих досліджуваних складових.

В останні роки в метрологічній практиці ряду розвинутих країн дедалі більшої популярності набуває концепція “невизначеності”, яка приходить на зміну концепції похибки. Доведено, що навіть коли всі відомі і припущенні складові похибки оцінено і проведено необхідні корекції, установлений результат все ще залишається невизначеним, тобто є сумнів у тому, наскільки точно результат вимірювання відображає реальне значення вимірювальної величини.

Вимірювання характеризується рядом недоліків, які викликають похибку вимірювання, внаслідок чого результат вимірювання відрізняється від вимірювальної величини. Похибку розглядають як випадкову величину, що складається із двох складових - випадкової і систематичної .

Випадкова похибка виникає завдяки дії непередбачуваних чи стохастичних часових і просторових змін впливаючих факторів. Хоча випадкову похибку результату не можна скомпенсувати, її можна зменшити, збільшивши число спостережень – її математичне очікування рівне нулю.

Систематична похибка виникає в результаті впливу на результат вимірювання закономірно діючих, тобто систематичних ефектів. Якщо ефект відомий, то можна визначити значення цього ефекту і внести в результат поправку для його компенсації. Однак, як правило, точне значення поправки невідоме, тому повна компенсація неможлива. Внаслідок неповної компенсації систематичної похибки результат являється зміщеним, і це зміщення часто називають невиключеним залишком систематичної складової похибки.

Результат вимірювання після внесення поправок на відомі систематичні ефекти все ще є оцінкою значення вимірювальної величини внаслідок невизначеності, яка виникає із-за випадкових випадкових ефектів і неточних поправок на систематичні ефекти. Таким чином, термін "невизначеність" означає сумнів щодо достовірності результату вимірювання, відсутність точного значення вимірювальної величини.

Невизначеність за ДСТУ – це оцінка , що характеризує діапазон значень, у якому є істинне значення вимірюваної величини. У керівному документі ISO наведено таке визначення : невизначеність вимірювання - параметр, об’єднаний з результатом вимірювання, що характеризує розсіювання значень вимірювальної величини.

Невизначеність вимірювання виражає той факт, що для даної вимірювальної величини і для даного результату її вимірювання не існує єдиного значення, а є нескінченне число значень, розсіяних навколо результату , котрі узгоджуються з усіма спостереженнями і даними і котрі з різним ступенем впевненості можуть бути приписані вимірювальній величині.

Є багато джерел невизначеності вимірювання, а саме:

• недосконалість визначення вимірювальної величини;

• недосконалість реалізації визначення вимірювальної величини (недосконалість методу вимірювання);

• нерепрезентативна вибірка;

• недостатня інформація про вплив параметрів навколишнього середовища на вимірювання чи недосконалість вимірювання в певних в певних умовах навколишнього середовища;

• особливості неточності у відліку аналогових приладів ;

• обмежена роздільна здатність ;

• неточні значення констант й інших параметрів, отриманих від зовнішніх джерел, які використовують в алгоритмах ;

• апроксимація і неточності в методі і процедурі вимірювання;

• зміни повторювальних вимірювань за незмінних умов .

Ці джерела невизначеності не обов’язково мають бути незалежними.

Розрізняють два типи розрахунку невизначеності :

• розрахунок за типом А – метод оцінювання невизначеності шляхом статичного аналізу рядів повторних спостережень;

• розрахунок за типом В – метод оцінювання невизначеності іншим способом, ніж статичний аналіз рядів спостережень.

В загальному випадку не існує однозначної відповідності між випадковими похибками і невизначеностями типу А чи систематичними похибками і невизначеностями типу В. Поділ на систематичні і випадкові похибки обумовлений природою їх виникнення і прояву в ході експерименту, а поділ невизначеностей на типи А і В – методами їх розрахунку . Ці категорії невизначеностей не є замінниками слів “випадкова” чи “систематична”. Невизначеність за рахунок дії деякого ефекту в одних випадках може бути отримана як оцінка за типом А , в інших – як оцінка за типом В.

Обидва типи розрахунків основані на розподілі ймовірностей, і компоненти невизначеності обох типів оцінюють дисперсією чи середньоквадратичним відхиленням.

Оцінкою дисперсії характеризуються компоненти, отримані оцінюваним типу А; її визначають рядом багаторазових вимірювань і статистичною обробкою їх результатів. Оцінку середньоквадратичного відхилення U=S називають стандартною невизначеністю типу А. Для компонентів невизначеності, отриманих оцінюванням типу В, невизначеність, подібну дисперсії , оцінюють , використовуючи відповідні знання , а оцінку середньоквадратичного відхилення іноді називають стандартною невизначеністю типу В.

Отже, стандартна невизначеність – невизначеність результату вимірювання, виражена як стандартне відхилення. Стандартну невизначеність результату вимірювання у випадку, коли результат отримують із значень ряду інших величин, називають сумарною стандартною невизначеністю (або її ще називають комбінованою стандартною невизначеністю).

Розширену невизначеність U – отримують помноженням стандартної невизначеності на коефіцієнт покриття K . Мета введення U – забезпечити такий інтервал біля результату вимірювання, у який попадає більша частина розподілу вимірюваної величини. Вибір коефіцієнта покриття K базується на виборі довірчої імовірності чи рівня довіри.

В більшості випадків найкращою доступною оцінкою математичного очікування чи очікувального значення величини q, для якої при спостереженнях при однакових умовах вимірювання отримані n незалежних значень , є середнє арифметичне значення:

Експериментальну дисперсію спостережень, яка є статичною оцінкою дисперсії розподілу ймовірностей величини q, отримують як :

Додатній квадратний корінь із дисперсії називають експериментальним середньоквадратичним відхиленням.

Найкращою оцінкою дисперсії середнього значення є:

Відповідне середньоквадратичне відхилення середнього значення :

Таким чином, стандартною невизначеністю, оціненою за типом А, для результату вимірювання , за який приймається середнє значення є:

Якби вимірювальна лабораторія не була обмеженою в часі і мала необмежені ресурси, то вона могла б провести вичерпні дослідження кожного можливого джерела , пов’язані з кожним з них, могли б бути оцінені з допомогою статичного аналізу рядів спостережень. Тобто, всі складові невизначеності були б отримані шляхом розрахунку за типом А. Оскільки такі дослідження з зрозумілих причин провести практично неможливо, частина складових невизначеності вимірювання повинна оцінюватися іншими методами, тобто шляхом розрахунку за типом В.

Розрахунок невизначеності за типом В базується на науковому судженні про можливу мінливість величини q з використанням всієї доступної інформації, і полягає , як правило, в використанні апріорного знання розподілу імовірностей.

Джерелом інформації можуть бути:

• дані попередніх вимірювань;

• дані отримані в результаті досліду, чи загальні значення про поведінку і властивості відповідних речовин і приладів;

• специфікації виробника;

• дані, що приводяться в свідоцтвах про калібрування, повірку та інших сертифікатах;

• невизначеності, що приписуються довідковим даним, які взяті з довідників.

Коли невизначеність величини q неможливо оцінити за допомогою аналізу результатів повторних спостережень, необхідно використовувати апріорний розподіл ймовірностей, який ґрунтується на ступені впевненості в тому, що певна подія відбудеться і опирається на знання, яке завжди обмежене. Однак, це не робить розподіл непридатним чи нереальним. Як і всі розподіли, він є вираженням того знання, яке існує на даний момент часу.

Часто зустрічається ситуація, коли для величини q існує оцінка границь та (верхня та нижня границі) інтервалу, в межах якого знаходяться можливі її значення. Якщо конкретних даних про можливі значення величини q в середині інтервалу немає, то можна лише припустити, що з однаковою імовірністю величина q може набути будь-якого значення в його межах (рівномірний розподіл). В цьому випадку очікуване значення буде середньою точкою інтервалу з відповідною дисперсією:

або середньоквадратичним відхиленням:

Рівномірний розподіл не варто припускати, якщо відомо, що значення близькі до границь інтервалу межі імовірні, ніж ті, які лежать ближче до центру інтервалу. В цьому випадку нерідко, виходячи з центральної граничної теореми теорії ймовірності, можна зробити припущення про те, що розподіл є приблизно нормальним . У випадку нормального розподілу інтервал покриває приблизно 99,73% розподілу. В цьому випадку можна вважати :

або

Однак, якщо впевненості в нормальності розподілу немає, то доцільно прийняти компроміс між рівномірним та нормальним розподілом, допускаючи, наприклад, розподіл Сімпсона (трикутний). Тоді:

або

Сумарна стандартна невизначеність – це невизначеність результату вимірювання, коли результат отримують із значень ряду інших величин. Вона являє собою квадратний корінь із суми членів, причому члени є дисперсіями чи кореляційними моментами (коваріаціями) цих інших величин, званими у відповідності із тим, як результат вимірюваня змінюється в залежності від зміни цих величин.

Сумарна стандартна невизначеність є також оцінкою середньо-квадратичного відхилення і характеризує розсіяння значень, які могли б бути з достатнім обгрунтуванням приписані вимірювальній величині. Вона визначається за формулою:

або

Отже, стандартна невизначеність – це невизначеність прямого вимірювання, а сумарна стандартна невизначеність – це невизначеність опосередкованого вимірювання. Стандартна невизначеність також може бути сумарною в разі прямого вимірювання з декількома джерелами похибок.

Розширена невизначеність U – величина, що визначає інтервал навколо результату вимірювання, в межах якого, як можна очікувати, знаходиться більша частина розподілу значень, які з достатнім обгрунтуванням могли б бути приписані вимірювальній величині.

Число Р, що показує, яка частина розподілу значень знаходиться в межах інтервалу, визначеного розширеною невизначеністю, називають імовірністю охоплення або рівнем довіри до інтервалу.

Розширену імовірність розраховують за формулою:

де К- числовий коефіцієнт, що використовується як множник сумарної стандартної невизначеності для отримання розширеної. Його називають коефіцієнтом покриття або коефіцієнтом охоплення.

Якщо розширена невизначеність розрахована, то результат вимірювання можна подати у вигляді , який означає, що найкращою оцінкою значення, яке приписується вимірювальній величині У, є у, і що інтервал від у-U до у+U містить, як можна очікувати , більшу Р частину розподілу ймовірностей значень, які можна з достатнім обґрунтуванням приписати вимірювальній величині.

Значення коефіцієнта покриття К вибирають на основі рівня довіри. Встановлення зв’язку між інтервалом, визначеним розширеною невизначеністю та рівнянням довіри вимагає явних і неявних припущень відносно розподілу ймовірностей, що характеризується результатом вимірювання і його сумарною невизначеністю. Рівень довіри, який може бути приписаний цьому інтервалу, може бути відомий лише в тій мірі, в якій такі припущення виправдані. В більшості практичних ситуацій при вимірюванні розрахунок інтервалу , який має заданий рівень довіри - наближений.