3Линейная зависимость и независимость векторов
.docЛинейная зависимость и независимость векторов:
Линейная комбинация называется тривиальной, если все её коэффициенты равны 0.
Определение: Система векторов называется линейно зависимой, если существует равная 0 нетривиальная линейная комбинация этих векторов. В противном случае, т.е. когда только тривиальная линейная комбинация векторов равна 0, система векторов наз. линейно независимой. О линейно зависимых и линейно независимых системах векторов справедливы те же предложения, что и о таких же системах столбцов. Предложения: (1)Система из k > 1 векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных; (2)Если в систему входит нулевой вектор, то она, линейно зависима; (3)Если некоторые из векторов, входящих в систему, сами по себе образуют линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима; (4)Каждая подсистема линейно независимой системы векторов сами линейно независима.