17Линейные операторы

Линейные операторы:

Линейным оператором в линейном пространстве L наз. всякое отображение A: LL пространства L в себя, обладающее свойствами A(x)=Ax и A(x+y)=Ax+Ay. Пусть A –линейный оператор в конечномерном пространстве L_n и В = (e₁,...,e_n) – некоторый фиксированный базис. Разложим векторы по базису В: Ae_k=a_1ke₁+...+a_nke, k=1,...,n. Тогда матрица

называется матрицей оператора A в базисе В. Матрицу оператора A будем иногда обозначать символом [A] или [A]_B, если существенно, о каком базисе идёт речь. Заданием матрицы оператор определяется однозначно, а именно: если y=Ax, то Y=AX, где X,Y – столбцы координат векторов x, y и A – матрица оператора A в базисе В. Пусть A и A' – матрицы оператора A в базисах B и B', а T=T_BВ' – матрица перехода от базиса B к базису B'. Тогда формула преобразования матрицы оператора при преобразовании базиса имеет вид A'=T^–1AT. Над линейными операторами, действующими в фиксированном пространстве L, вводятся следующие операции: (а) сложение операторов: (A+B)х=Ax+Bx; при этом [A+B]=А+В; (б) умножение операторов на числа: (A)x=(Ax); при этом [B]= B; (в) умножение операторов: (АВ)х=А(Вх); при этом [AВ]=АВ. Обратным к оператору А наз. оператор A^–1 такой, что AA^–1=A^–1A=E, где Е—единичный оператора реализующий тож­дественное отображение. Оператор A имеет обратный (и в этом слу­чае наз. невырожденным) в том и только в том случае, когда его матрица А невырождена (в любом базисе); при этом [A^–1]=A^–1.