- •Общие организационно-методичвские указания
- •Эпюры внутренних усилий при растяжении-сжатии, кручении и изгибе
- •Рассмотрим примеры построения эпюр всф.
- •Геометрические характеристики плоских сечений.
- •Сопротивление материалов_ Практические занятия.
- •Работа №1 На тему "Построение эпюр поперечных сил q и изгибающих моментов м"
- •Работа №2 На тему "Расчет на прочность при растяжении и сжатии стержня"
- •Исследование Напряженных состояний
- •Работа №3 На тему "Напряженное состояние"
- •Для сплошного сечения
- •Определим напряжение в точке а сечения 1-1 .
- •Определение премещений при растяжении-сжатии, кручении и изгибе.
- •Статически неопределимые системы.
- •Расчёты на прочность при сложном нагружении брусьев
- •Примеры решения задач
- •Устойчивость сжатых стержней.
- •Условие применимости формулы Эйлера
- •Находим площадь поперечного сечения
- •Самостоятельная работа 4 на тему "Кручение"
- •Работа №5 На тему "Нормальные напряжения при изгибе"
- •Работа №6 На тему "Определение деформаций при изгибе"
- •Работа №7 На тему "Статически неопределимые системы"
- •Работа №8 На тему "Статически неопределимые балки. Общий метод расчета статически неопределимых систем"
- •Работа №9 На тему "Сложное сопротивление "
- •Работа №10 На тему "Устойчивость сжатых стержней "
Общие организационно-методичвские указания
Методические указания к практическим занятиям составлены в соответствии с рабочей программой курса "Сопротивление материалов".
Настоящие методические указания содержат теоретические сведения по наиболее трудным для усвоения темам курса, примеры решения типовых задач, варианты заданий для индивидуальной работы.
Задачи решается в буквенном виде, числовые данные подставляются лишь в окончательные выражения для искомых челичин. Решение сопровождается вычерчиванием соответствующих схем, графиков.
Необходимые вычисления выполняются с помощью кальХулятора.
Эпюры внутренних усилий при растяжении-сжатии, кручении и изгибе
Внутренние силовые факторы (ВСФ) вычисляются на основе метода сечений. Эпюрами ВСФ называют графики изменения величины соответствуюшего ВСФ по длине бруса. Контроль правильности построения эпюр проводится на основании дифференциальных зависимостей между распределенной нагрузкой q и поперечной силой Q (продольной силой N) и изгибающим моментом М. Более подробно об этом можно прочитать в конспекте лекций или одном из рекомендуемых учебников.
Ниже приводятся примеры построении эпюр продольных сил N, крутящих моментов Мk поперечных сил Q и изгибающих моментов M .
Если брус загружен треугольной нагрузкой, то подход к вычислению ВСФ такой же, как и для случая равномерно распределенной нагрузки:
-
находят равнодействующую (она равна площади, занимаемой нагрузки);
-
равнодействующее усилие проходит через центр тяжести этой площади.
Рассмотрим треугольную нагрузку и определим поперечную силу и изгибающий момент.
Рис 1.
На расстоянии x от свободного конца (рис. 1,а) проведем произвольное сечение. Равнодействующее усилие Q(x) будет приложено в центре тяжести треугольника (рис. 1,6) - в точке пересечения медиан (на расстояния 2/3 длины, отсчитываемой от острого угла).
Величина Q(x ) равна площади треугольника:
Произвольное значение распределенной нагрузки q(x) находим из подобия треугольнико через заданную величину q0 рис 1.а.
откуда
Следовательно,
В соответствии с правилом знаков Q(x)>0, Находим изгибающий момент:
В случае трапециидальной нагрузки ее разбивают треугольную и прямоугольную (рис. 2).
Рис. 2
Рассмотрим примеры построения эпюр всф.
Задача 1. Построить эпюру продольных сил для бруса, загруженного так как показано на рис. 3, и указать положение опасных сечений
Решение. Разбиваем брус на участки, начиная со свободного конца, и для каждого участка составляем выражение величин N. Границы участков определяются сечениями, где приложены внешние нагрузки. Правильность построения эпюры N проверяют по «скачкам»: «скачок» в эпюре N должен быть равен величине сосредоточенной силы, приложенной в соответствующем сечении.
Сечение 1-1 (рис.3) 0<=x1<=4a
N1=2P+qx1=2qa+qx1,
при x1=0, N1=2qa, при x1=4a, N1=2qa+4qa=6qa
Сечение 2-2 (рис.3) 4a<=x2<=7a
N2=2P+q4a-4P=2qa+4qa-4qa=2qa = const
Сечение 3-3 (рис.3) 0<=x3<=5a
N3=2P+q4a-4P-3Р-qx3=2qa+4qa-4qa –3qa - qx3=-qa - qx3
при x3=0, N3= -qa - 0 = -qa
при x3=5a, N3= -qa – 5qa = -6qa
Из эпюры N видно, опасными поперечными сечениями будут сечения, где N1=2qa+4qa=6qa – участок 1 и N3= -qa – 5qa = -6qa участок 3. В первом случае имеем максимальное растягивающее, во втором максимальное сжимающее усилия.
Задача 2. Построить эпюру крутящих моментов для вала нагруженного так как показано на рис. 4, и указать положение опасных сечений.
Решение. Вал круглого поперечного сечения вращается с постоянной угловой скоростью w=const. На вал насажены три шкива с внешними монетами: М1 =50 кНм, М2 =17,50 кНм, и М3 (модуль и направление вращения М3 по условию задачи не заданы). Диаметры вала на участках I и 2 различны: d1=2d2.
Рис. 4
Крутящий момент МК это внутренний силовой фактор, возникающий в любом сечении вала при кручении.
Величина и направление крутящего момента зависят от значений внешних моментов, приложенных к валу.
Знаки Крутящих моментов проще определять по направлению внешних моментов.
Условимся считать крутящий момент положителдьным, если при взгляде со стороны сечения внешний момент направлен против хода часовой стрелки.
Для построения эпюры крутящих моментов условно разобьем вал иа участки и воспользуемся методом сечения.
Рассмотрим первый участок слева, изобразив отдельно отсеченную часть {рис. 5).
Рис. 5
Внешний момент М1 уравновешивается крутящим моментом MК1 , т.е MК1 = M1 = 50 кНМ.
Сделав сечение на втором участке и рассмотрев равновесие отсеченной части (рис. б), получим:
M1- M2- MК2=0
MК2= M1- M2=50-17.5=32.5кНм
Рис. 6
По полученным значениям. MК2 и MК1 построим эпюру MК (рис 7.)
Так как MК2 и MК1 постоянны, то эпюра ограничена прямыми линиями, параллельными оси вала.
Рис. 7
«Скачки» на эпюре МК равны приложенным в соответствующих сечениях вала внешним моментам.
Следовательно, внешний мемент М3 = 32,5 кНм скручивает вал по часовой стрелке.
Значение и направление М3 можно определить и до построения эпюры Мк исходя из того, что для вала, вращающегося с постоянной угловой скоростью сумма всех внешних моментов равна «0». Чтобы записать условие равновесия, произвольно зададимся направлением вращения М3 по часовой стрелке.
Условие равновееия:
M1- M2- M3 =0
отсюда M3 = M1- M2 =50 –17.5= 32,5.
Тaк как значение получено со знаком "плюс", значит, первоначально выбранное направление для М3 соответствует действительности.
Если в результате расчета получается отрицательная величииа, то первоначально выбранное направление необходимо изменить на противоположное.
Зная направление и значение M3, строим эпюру крутящих моментов.
Опасными течениями вала будут сечени I-I и 2-2 (рис, 4), так как в сечегии 1-1 действует наибольший круутящий момент, а в сечении 2-2 диаметр вала меньше, чем в сечении I-I.
3 а д а ч и 3 и 4. Для балок, загруженных так, как показано на рис. 8 и 9, построить эпюры М и Q и указать положения опасных сечений.
Решение. В общем случае плоского прямого изгиба в поперечных, сечениях бруса возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибащий момент M.
Поперечная сила Q равна алгебраической сумме проекций внешних сил на ось, перпендикулярную оси балки, изгибающий момент М - алгебраичеокой сумме моментов всех внешних сил, расположенных по одну сторону, от сечения относительно центра тяжести рассмативаемого сечения.
Графики изменения Q и M по длине балки являются соответственно эпюрой поперечных сил и эгидой изгибающих моментов.
Для определения знаков М и Q приняты специальные правила:
при рассмотрении правой части положительньми является поперечная сила, направленная вниз, и изгибающий момент, направленный против хода часовой стрелки;
при рассмотрении левой части положительными считается поперечная сила, направленная вверх и изгибающий момент, направленный по ходу часовой стрелки
Рис. 8
Рис. 9
Эти правила можно проиллюстрировать следующим рисунком:
контроль правильности построения эпюр М и Q осуществляется с помощью дифференциальных зависимостей при изгибе.
Построим эпиры М и Q, для балки, схема которой приведена на рис. 8.
Прежде чем приступить к построению эпюр для балок на двух опорах необходимо определить опорные реакции.
Для этого составим уравнения равновесия для балки, освобожденной от связей:
mA= - P7 – M - q55/2+RB5=0
mB= - RA5 – P2-M+q55/2 =0
Подставим числовые значения и найдем величины RA и RB.
RB =(107+4+50)/5 = 24.8kH
RA= (50-20-4)/5 = 2.2kH
Проверку правильности найденных значений опорных реакций производим по третьему уравнению равновесия - сумме проекций всех сил на вертикальную ось балки У=0
У= RA + RB - q5-P=5.2+24.8-45-10=0
Уравнение обращается в тождество. Следовательно, опорные реакции по величине и направлению определены правильно.
Для построения эпюр М и Q применим метод сечений, Балка состоит из двух участков первый участок расположен от точки A до точки В, второй от точки С до точки В. На первом участке произвольно выбираен сечение на расстоянии Х1 от опоры А.
составим выражения М и Q для рассматриваемого первого участка 0<=Х1 <=5m
Q1=RA – qx1
M1=RAX1 – qx1x1/2= RAX1 – 0.5qx12
На рисунке справа приводится правило знаков длярассматриваемой левой части балки. Равнодействующая распределенной q равна qx1 и приложена на расстоянии x1 /2 от рассматриваемого сечения в центре тяжести прямоугольника.
Для построения эпюры Q достаточно найти два значения, так как зависимость Q= Q(х) является линейной.
X1 =0, Q=RA
X1 =5м, Q= 5.2-45= -14.8 кН
Поперечная сила (в пределах участка I) меняет знак с "плюса" на «минус», следовательно в сечении, где Q проходит через 0, имеем М =Ммах
Определим точку экстремума:
Q1=RA – qx1=0, х1=RA/q=5,2/4=1.3м
Эпюра M ограничена параболической кривой X=0, М1=0.
X1 =4м, М1= 5.24-416/2= -11.2 кНм
X1 =1,3м, М1= 5.21.3-41.32/2= 3.33 кНм
Рассмотрим второй участок: 0<=Х2 <=2m
Q2=Р=10кН=const,
М2= -PX2 –M;
X2=0, М2= -4 кНм
X2=2m, М2= -102 – 4= -24 кНм
По полученным данным строим эпюры М и Q (рис.8).
Для контроля правильности построения эпюр воспользуемся выводами, полученными из дифференциальных зависимостей.
Первый участок балки загружен сплошной равномеоно распределенной нагрузкой, поэтому эпюра М ограничена параболической кривой, а эпюра Q - наклонной прямой.
Сплошная нагрузка направлена вниз, т.е , следовательно, эпюра М очерчена кривой, имеющей выпуклость вверх.
Второй участок свободен от равномерно распределенной нагрузки (q = 0), следовательно dQ/dx =0, Q=const т.е. на этом участке эпюра Q ограничена прямой, параллельной оси X, а эпюра М - наклонной прямой.
"Скачки" в сечениях под сосредоточенными силами равны соответствующим силам (рис. 8), а "скачок" в эпюре М равен моменту сосредоточенной пары сил.
На первом участке в сечении, где Q, переходит через нуль, М=Ммах.
Рассмотрим особенности построения эпюре М и Q для балки с защемленным концом (консоль). на рис 9.
Здесь так же как и в задаче 3, можно предварительно определить опроную рекцию и опорный момент и затем рассмотреть правую и левую части балки.
Однако для того, чтобы избежать вычислений, связанных с определением опорныхмоментов и реакций, рекомендуеися рассмотреть правую часть балки.
Q1= -P + qx1, Q2= -P + q4=const
M1=PX1 – 0.5qx12; M2=PX2 – q4(x2 –2) +M;
Подставив в формулы численные значения, строим эпюры М и Q так же как и в задаче 3 (рис. 9).
Для консольных балок эпюры строят аналогичным образом.
0<=Х1 <=а; Q1=-Р=const, М1= -PX1 –M;
0<=Х1 <=l; Q2=-RA+qx2, М2= RBX2 – 0.5qx2;
В задаче 3 опасным сечением будет сечение над опорой В
=24кНм, =14.8кН,
Опасное сечение в задаче 4 - защемление;
=20кНм, =10кН,