1.5. Теоремы Муавра-Лапласа.

1. Рассмотрим случай, когда число успехов растет с ростом , а вероятность успеха постоянна.

Теорема Муавра-Лапласа (локальная). Положим . Предположим, что m →∞ , n →∞ и величины x_n являются ограниченными. Тогда

.

В частности, если x_n → x , то

Рассмотрим приближенную формулу для вероятности того, что событие наступило не менее m₁ и не более m₂ раз в n испытаниях, когда n велико. Предположим, что числа m₁ и m₂ растут с ростом n , а вероятность успеха p постоянна.

2. Теорема Муавра-Лапласа (интегральная). Положим . Предположим, что m₁ →∞ , n →∞ и величины a_n и b_n являются ограниченными. Тогда

.

Введем функцию Гаусса φ(x) и функцию Лапласа Φ(x)

, .

Тогда локальную теорему можно записать в виде

,

где ,

а интегральную теорему в виде

,

где .

Замечание. Приближенными формулами Лапласа на практике пользуются в случае, если npq >10. Если npq <10, то эти формулы приводят к большим погрешностям.

Примеры.

1. Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0.8 . Найти вероятность того, что событие произойдет

а) 750 раз, б) не менее 710 раз и не более 740 раз.

Из условия следует, что n = 900, p= 0.8, величина q = 0.2 и npq = 144 >10 и можно использовать приближенные формулы.

а) m = 750, найдем

.

По таблице значений функции Гаусса находим φ(2.5) = 0.0175. Искомая вероятность равна

.

б) m₁ = 710, m₂ = 740, найдем a_n и b_n

.

По таблице значений функции Лапласа ,

Искомая вероятность равна

_. ◄

2. Сколько раз с вероятностью 0.0484 можно ожидать появления события в 100 независимых испытаниях, если вероятность его появления в отдельном испытании ?

Из условия следует, что n = 100, P_n(m)= 0.0484, p= 0.5, величина q = 0.5, требуется определить m. ( Т.к. npq = 25 >10 можно использовать приближенные формулы).

Найдем x

.

Имеем

.

Отсюда находим . По таблице значений функции Гаусса находим x = 1.09. Подставляя это значение в выражение для x , получим

.

Поскольку – целое число, то . ◄

3. Найти вероятность того, что при 150 выстрелах мишень будет поражена ровно 70 раз, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0.4.

Данная задача решается с использованием схемы Бернулли, А = {попадание при одном выстреле }, n = 100, p = p(А) = 0.4, q = 1 – p = 0.6, m =70. ( Т.к. npq = 36 >10 можно использовать приближенные формулы ).

.

Тогда

. ◄

5. Город ежедневно посещают 1000 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы с вероятностью приблизительно 0.99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно быть в его ресторане?

Пусть А = {турист пообедал в данном ресторане}. Вероятность наступления события А : p = p(А) =0.5, n = 1000. Владелец ресторана желает, чтобы вероятность переполнения ресторана была равна 1-0.99=0.01. Число мест в ресторане должно быть таким, чтобы вероятность того, что ресторан посетит более, чем ( и не более 1000 ) туристов была равна 0.01. Т.е. должно выполняться равенство

. Имеем

.

Тогда

, или .

Используя таблицы для функции Лапласа, находим

, значит . Следовательно, в ресторане должно быть 537 мест. ◄

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение последовательности независимых испытаний, изложите схему Бернулли.

2. Сформулируйте условия задач, для решения которых применяется форму­ла Бернулли.

3. Как определяется число сочетаний из и элементов по т?

3. При каких условиях из формулы Бернулли получается формула Пуас­сона?

4. Изложите два случая определения параметра формулы Пуассона.

5. Что такое наивероятнейшее число появлений события? Как оно опреде­ляется?

6. Какова асимптотическая формула биномиального распределения?