- •1. Пределы и их свойства
- •2. Дифференцирование функции одной переменной
- •3. Интегральное исчисление
- •3.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •1. Непосредственное интегрирование.
- •2. Метод подстановки.
- •3. Метод интегрирования по частям.
- •3.2. Определенный интеграл
- •Формулы площадей плоских фигур.
- •2. Формулы объемов тел вращения.
- •4. Дифференциальные уравнения и их применение в медицинской практике
- •5. Основы теории вероятностей
- •Виды случайных событий
- •Полная группа событий
- •Исходы испытания
- •Классическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •6. Случайные величины и их числовые характеристики
- •6.1. Дискретная случайная величина
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Решение:
- •6.2. Непрерывная случайная величина
- •Числовые характеристики непрерывной случайной величины Математическое ожидание
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Решение:
- •6.3. Нормальное распределение непрерывной случайной величины (закон Гаусса)
- •7. Элементы математической статистики
- •Оценка параметров генеральной совокупности
- •Литература
- •Содержание
Решение:
События – заражение желудочно-кишечными заболеваниями – относятся к повторным независимым испытаниям. Вероятность того, что некоторое событие произойдет ровно раз в испытаниях, вычисляется по формуле Бернулли:
.
По условию: , , (событие – «хотя бы один» – означает «один и более»), т.е. .
Известно, что сумма вероятностей событий, составляющих полную систему, равна 1, т.е. . Для данного случая имеем: или , тогда получаем, что .
Вычислим : .
Ответ: вероятность того, что из группы туристов, насчитывающей 6 человек, заболеет хотя бы один, равна .
Пример 7. Какова вероятность того, что в партии таблеток, насчитывающей 10000 штук, 1) не более 20 окажутся нестандартными, если вероятность того, что отдельная таблетка окажется нестандартной, составляет 0,0012? 2) ровно 12 штук окажутся нестандартными?
Решение:
События – нестандартная таблетка – относятся к повторным независимым испытаниям.
Число испытаний () в данном случае велико, поэтому использование формулы Бернулли для нахождения вероятности приводит к вычислительным трудностям.
1) для ответа на первый вопрос используем формулу, позволяющую приближённо определять вероятность , с которой происходит событие .
По условию: , , , , . Анализ условия показывает, что , значит, для вычисления вероятности используем интегральную теорему Лапласа:
, здесь – стандартный интеграл вероятностей (функция Лапласа), , , причем .
Таким образом, получаем: .
По таблице значений функции находим, что , а вероятность .
2) для ответа на второй вопрос используем формулу, позволяющую приближённо определять вероятность , с которой происходит событие :,
где , (локальная теорема Лапласа).
По условию: , , , , , .
Вычисляем : .
По таблице значений функции находим, что . Тогда .
Ответ: 1) вероятность того, что в партии таблеток из 10000 штук, не более 20 окажутся нестандартными, равна ;
2) вероятность того, что в партии таблеток из 10000 штук, ровно 12 окажутся нестандартными, равна .
Пример 8. Среднее число самолетов, прибывших в аэропорт за I минуту, равно 3. Найти вероятность того, что за 2 минуты прибудут: а) не менее 3-х самолетов; б) не более 2; в) 4 самолета.
Решение:
События – прибытия самолетов в аэропорт – представляют собой простейший поток событий.
Вероятность появления событий простейшего потока за время длительностью определяется формулой Пуассона: , где – интенсивность простейшего потока, или среднее число событий, появляющихся в единицу времени.
По условию: , :
а) , т.е. . Для полной системы событий имеем: .
Или в данном случае: . Тогда интересующая нас вероятность .
Вычисляем: , , , ,
;
б) , т.е. . Согласно теореме сложения вероятностей получаем, что . Воспользуемся вычислениями, сделанными в предыдущем пункте, и получим, что ;
в) . В данном случае искомая вероятность вычисляется по формуле Пуассона: и будет равна .
Ответ: вероятность того, что за 2 минуты прибудут:
а) не менее 3-х самолетов, равна ;
б) не более 2, равна ;
в) 4 самолета, равна .
Упражнения:
Задание 1. В предлагаемом ниже перечне событий, укажите, какие из них являбтся: а) невозможными; б) достоверными; в) случайными; г) несовместными; д) независимыми; е) равновозможными; ж) зависимыми.
-
Два попадания при трех выстрелах;
-
Появление не более 18 очков при бросании трех игральных костей;
-
Наугад выбранное трехзначное число не больше 1000;
-
Из ящика с белыми шарами достают белый шар;
-
Выпадение двух и шести очков при одном бросании кубика;
-
В лототроне находятся исключительно кубики красного цвета. Событие А состоит в извлечении кубика красного цвета из лототрона;
-
В аптеке отсутствует препарат глюкоза. Событие В состоит в покупке ампул глюкозы в данной аптеке.
-
При бросании игральной два раза подряд в первый раз выпала цифра 1 (событие С1), а во второй раз – цифра 5 (событие С2). Событие С1 и С2 анализировать в совокупности, а не по отдельности.
-
При одновременном бросании двух игральных костей на одной выпала цифра 3 (событие D1), а на другой – 6 (событие D2). Событие D1 и D2 анализировать в совокупности, а не по отдельности.
-
В лототроне находятся шары с четными числами. Событие F состоит в извлечении шара с цифрой 3.
-
Наугад выбранное трехзначное число, составленное из цифр 1, 2, 3, делится на5;
-
Наугад выбранное число, составленное из цифр 1, 2, 3, 7, 8 делится на 3.
Задание 2. Решить задачи:
-
Пусть А – появление двух гербов при бросании двух момент, В- появление герба и цифры при бросании двух монет. В чем состоит событие А+В?
-
Пусть А – появление 6 очков при бросании игральной кости, В – появление 5 очков при бросании игральной кости, С – появление 4 очков при бросании игральной. В чем событие А+В+С?
-
Пусть А – появление нечетного число при бросании игральной кости, В – непоявление, С – непоявление. В чем состоят события АВС, АВ, АС, ВС?
-
Победитель соревнования может быть награжден: призом (событие ), денежной премией (событие ), медалью (событие ). В чем состоит событие , .
-
Подлежат контролю 250 деталей, из которых 5 бракованных. Какова вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется: а) бракованной; в) годной.
-
Из 982 больных. Поступивших в хирургическую больницу за месяц, 275 человек имели травмы. Какова относительная частота поступления больных с этим видом заболеваний?
-
Найти вероятность выпадения нечетного числа при бросании игральной кости.
-
В урне 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из нее наугад извлекается один шар. Какова вероятность того, что этот шар будет белый? черный?
-
На странице книги имеется 2500 букв. Буква «а» встречается 190 раз. Какова вероятность того, что случайно выбранная буква будет буквой «а»? Какова вероятность того, что случайно выбранная не есть «а»?
-
В урне имеется 7 черных и несколько белых шаров. Какова вероятность вытащить белый шар, если вероятность вынимания черного шара равна 1/6? Сколько белых шаров в урне?
-
В каждой из двух урн имеется по 2 черных и 3 белых шара. Какова вероятность одновременного вынимания из каждой по черному шару?
-
Какова вероятность того, что в результате бросания игральной 6 раз подряд выпадут единицы?
-
Какова вероятность того, что в результате бросания игральной кости 6 раз подряд выпадут только четные числа?
-
В урне 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Найти вероятность того, что последовательно один за другим будут вынуты шары: а) черный и белый; б) белый и черный; в)два черных; г) два белых.
-
Вероятность попадания в мишень для первого стрелка - 0,8, а для второго - 0,6. Стрелки независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадет только один из стрелков? По крайней мере, один стрелок?
-
Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найдите вероятность того, что он: а) промахнется вес 3 раза; б) попадет хотя бы один раз; в) попадет 2 раза.
-
Вероятность поражения первой мишени для данного стрелка 9/13.Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получает право на второй выстрел по другой мишени. Вероятность поражения обеих мишеней при двух выстрелах 0,5. Определить вероятность поражения второй мишени.
-
Четыре охотника договорились стрелять по дичи в определенной последовательности. Следующий охотник производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятность попадания в цель каждым из охотников одинакова и равна 0,8. Найти вероятность того, что будет произведено: а) один; б) два; в) три; г) четыре выстрела.
-
Для сообщения об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора-автомата. Вероятность того, что при аварии сработает первый автомат, равна 0,95; второй - 0,9. Найти вероятность того, что при аварии поступит сигнал: а) хотя бы от одного сигнализатора; б) только от одного сигнализатора.
-
Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятности того, что студент ответит на первый и второй вопросы билета, равны 0,9; на третий - 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить хотя бы на два вопроса.
-
Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены потребует его внимания первый станок, равна 0,7, второй - 0,75, третий - 0,8. Найти вероятность того, что в течение смены внимания рабочего а) потребуют какие-либо два станка; б) хотя бы один станок.
-
Два стрелка производят в цель по одному выстрелу. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,7, для второго - 0,8. Найти вероятность того, что попадут в цель: а) оба; б) только один; в) ни один; г) хотя бы один.
-
Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,3, второй - 0,4, третий - 0,7, четвертый - 0,4. Найти вероятность того, что в течение часа а) ни один станок не потребует внимания рабочего; б) хотя бы один станок потребует внимания рабочего.
-
Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй - 0,3, третий - 0,4. Найти вероятность того, что корреспондент услышит вызов радиста.
-
Завод выпускает для магнитофонов три типа предохранителей. Доля каждого из них в общем объеме продукции составляет 30%, 50%, 20%, соответственно. При перегрузке сети предохранитель первого типа срабатывает с вероятностью 0,8, второго – 0,9 и третьего– 0,85. Определить вероятность того, что выбранный наудачу предохранитель не сработает при перегрузке сети?
-
В продукции кондитерской фабрики шоколадные конфеты составляют 40% ассортимента. В среднем 10 из 1000 шоколадных конфет оказываются с браком. Для остальной продукции этот показатель равен 5 из 200, Найти вероятность того, что; а) выбранное наугад изделие окажется без брака; б) выбранное наугад изделие без брака оказалось шоколадной конфетой.
-
Турист может пообедать в трех столовых города. Вероятность того, что он отправится к первой столовой - 1/5, ко второй - 3/5 и к третьей - 1/5. Вероятности того, что эти столовые закрыты следующие: первая - 1/6, вторая - 1/5 и третья - 1/8. Определить вероятность того, что: а) турист пообедал в одной из выбранных столовых; б) столовая, в которой пообедал студент, оказалась второй столовой?
-
На фабрике, изготавливающей некоторую продукцию, первая машина производит 30%, вторая - 45%, третья - 25% всех изделий. Брак их продукции составляет соответственно 2%, 5% и 3%. Найти вероятность того, что: а) случайно выбранное изделие оказалось дефектным; 6) случайно выбранное изделие произведено первой машиной, если оно оказалось дефектным.
-
В машбюро 5 пишущих машинок. Вероятность того, что каждая из них в течение года потребует ремонта, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение года не придется ремонтировать хотя бы две машинки.
-
В магазин вошли 5 покупателей. Найти вероятность того, что не менее трех из них совершат покупки, если вероятность совершить покупку для каждого вошедшего одна и та же и равна 0,3.
-
Рабочий обслуживает 5 одинаковых станков. Вероятность того, что в течение часа станок потребует регулировки, равна 1/3. Какова вероятность того, что в течение часа рабочему придется регулировать 4 станка?
-
В партии товаров имеется 400 изделий, Вероятность того, что изделие будет высшего сорта, равна 0,8. Какова вероятность того, что а) в партии товаров окажется ровно 320 изделий высшего сорта; б) число изделий высшего сорта в партии товаров будет от 310 до 330?
-
В результате проверки качества приготовленного посева зерна установлено, что 90% зёрен всхожи. Для посадки отобрано и высажено 900 зёрен. Найти вероятность того, что: а) из взятых зёрен прорастёт 820 штук; б) прорастёт от 600 до 640 посаженных зёрен.
-
Среди 1100 студентов левши составляют 1%. Чему равна вероятность того, что из общего количества студентов: а) ровно 11 левшей; б) не менее 20 левшей?
-
Среднее число самолетов, прибывших в аэропорт за 1 минуту, равно 3. Найти вероятность того, что за 2 минуты прибудут: а) не менее 3-х самолетов; б) не более 2; в) 4 самолета.
-
Среднее число кораблей, находящих в порт за 1 час, равно трем. Найти вероятность того, что за 4 часа в порт зайдут: а) 6 кораблей; б) менее 6 кораблей; в) не менее 6 кораблей.
-
Через кассу в магазине в течение 1 минуты проходит в среднем 2 человека. Найти вероятность того, что за 2 минуты пройдет: а) 4 человека; 6) не менее 2-х человек; в) не более 3-х.
-
Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: x1 и x2, причем x1< x2. Известны вероятность р1 возможного значения x1, математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(X). Найти закон распределения этой случайной величины.