tau lekcii 2006

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

31

5.Корень вещественный положительный. ЛДС неустойчива.

6.Корни комплексные с (+ a). ЛДС неустойчива (колебания).

Критерий устойчивости по корням: ЛДС устойчива, если корни характеристического уравнения лежат слева от мнимой оси; неустойчива, если корни справа от мнимой оси (хотя бы один из корней).

Мнимая ось – граница устойчивости.

7.2.2. Алгебраический критерий (критерий Гурвица). (по коэффициентам характеристического уравнения).

Порядок анализа:

1. записывается характеристическое уравнение: a0 × rn + a1 × rn−1 + a2 × rn−2 + K+ an = 0

a1

a3

a5

K

0

a0

a2

a4

K

0

2.

составляется определитель Гурвица (матрица): Dn =

0

a1

a3

K

0

.

M

M

M

O

M

0

0

0

K an

3.

Сначала заполняется диагональ a1 Lan .

анализ определителя.

ЛДС устойчива, если:

а) все коэффициенты одного знака;

б)

определитель Dn f 0,

Dn−1

f 0,

D2

f 0,

14243

если вычеркнуть последнюю строку и столбец

ПРИМЕР:

WA (s) =

1

объект

10 × s + 1

_

А

А

А

WП (s)

= kp

kp

Определяем, при каком

система на границе

П

регулятор

WA (s) =

1

устойчивости.

10

× s

+ 1

WП (s) = kp

[W

(s)]3

é

1

ù3

ê

ú

1

10 × s + 1

Wэкв (s)

=

A

=

ë

û

=

+ WП (s)× [WA (s)]3

é

1

ù3

æ

ö

1

1 + kp ×

ê

ú

1000 × s

3 + 300 × s2 + 30 × s +

ç

1 + k

÷

× s +

1

p

ë10

û

{ { {

ç

÷

a0

a1

a2

ç

123

÷

è

a3

ø

D3 =

a1

a3

0

a0

a2

0

0

a1

a3

a0 ,a1 ,a2 ,a3 f 0

D = a1 f 0 , D2 =

a1

a3

;

D3 = a3 × D2

a

a

4424444443

14444

0

2

исследовать

D2 =

a1

a3

= a1 × a2 - a0 × a3

a0

a2

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

32

Если приравнять к нулю, то получим границу устойчивости ® kp

D2 = 300 × 30 + 1000 × (1 + kp )= 0 Þ kp = 8

При kp f 8 Þ D2 p 0 Þ ЛДС неустойчива При kp p 8 Þ ЛДС устойчива

7.2.3. Частный критерий устойчивости (критерий Найквиста).

Об устойчивости замкнутой ДС судят по расположению на комплексной плоскости КЧХ разомкнутой системы.

	Wзамк.сист.		(jw) =			Wраз.сист. (jω)
				1		+ Wраз.сист. (jw)
	1 + Wраз.сист. (jw) = 0 Þ Wраз.сист. (jw) = -1
							ФЧХраз.сист.
		(jw) = А					678
	W						(jw)× еj j(w)
	раз.сист.		14243
					раз.сист.

АЧХ раз.сист.

ìА		раз.сист.		(jw) =
ï
í			(jw) =
ïj	раз.сист.
î

1

-p Þ условие границы устойчивости.

1. ДС на границе устойчивости

2. ДС устойчива

3. ДС неустойчива Критерий Найквиста: замкнутая ДС считается

устойчивой, если КЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (- 1, j0)

Если КЧХ разомкнутой системы проходит через точку (- 1, j0), замкнутая система проходит границу

устойчивости и является неустойчивой, если КЧХ РС охватывает точку (- 1, j0).

ПРИМЕР: (см. п. 7.2.2)

WA (jw) =

k A

× e

- jarctg(TA ×w)

; WП (jw) = k П ; Wр.с. (jw) =

(

k A3

)3

× k П × e

-jarctg(TA ×w)×3

TA2 × w2 + 1

T2

× w2

+ 1

A

Условие устойчивости по Найквисту:

ì

k 3A × k П

[1]

k А = 1; ü

ï

3

= 1,

ý (см. п.7.2.2.)

T2 × w2

í(

+ 1)

ТА = 10;þ

A

[2]

ï- 3 × jarctg(T

× w)

= -p,

k П Þ ?

î

A

Решение:

× w) = p Þ wp =

® подставляем в [1]

[2]Þ wp : arctg(T

3

A

3

TA

[1]Þ k 3А × k П = 8 Þ k П = 8

Величина TA не влияет на k П,граничное

(лаб. работа №3)

1.Граница устойчивости k П = 8

2.Устойчивая система Араз.сист. (w) p 1 Þ k П p 8

3.Неустойчивая система Араз.сист. (w)f 1 Þ k П f 8 Алгебраический критерий используется для анализа систем,

где нет транспортного запаздывания. Для реальных промышленных систем чаще используется критерий Найквиста.

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

33

8. Оптимальный синтез АСР.

8.1. Понятие об оптимальной АСР.

АСР – совокупность объекта и регулятора, взаимодействующих между собой.

λ(t)

Объект

АР ® Wp (s) ® Wp (jw)

Автоматический

Объект ® Wо

(s)® Wо (jw)

U(t)

ε(t)регулятор АР

регулирования Y(t)

W (s)

Wр(s)

Wо(s)

Wз.с.

(s)

_

λ=1 =

o

1

+ Wo (s)× Wp (s)

U=0

Wз.с.

(s)

λ=0 =

Wo (s)× Wp (s)

1

+ Wo (s)× Wp (s)

U=1

Wз.с. (s) = Wo (s)× Wp (s)

8.2. Критерий оптимальности в АСР.

y(t)	Теоретический оптимум	y(t)	Теоретический оптимум
	Площадь равна 0		Площадь равна 0
	t		y(t)=1 t
	λ=1; U=0		λ=0; U=1

IM - интеграл по модулю от регулируемого параметра y(t) tp - время переходного возмущения (когда y(t) £ D2 , где D2

Линейный интегральный критерий:

В качестве критерия оптимальности используются интегральные оценки:

tp

IM λ=1 = ò y(t)dt ® min

U=0

0 tp

IM λ=0 = ò 1 - y(t)dt ® min

U=1

0

- заданная величина, отклонение)

tp

y(t)

y(t)

I

л

λ=1

=

ò

y(t)dt

+

U=0

+ -

0

+

+

-

tp

(1 - y(t))dt

I

λ=0

=

ò

+

t

y(t)=1

t

л

U=1

-

-

0

Линейный	интегральный	критерий
используется для слабо колебательных			λ=1; U=0	λ=0; U=1
процессов и	применяется в	задачах

оптимального синтеза АСР при ограничениях на заданный запас устойчивости.

Примечание:

tp	(t)dt ® min (исключает недостатки Iл , но искажает результат)
Квадратичный критерий: Iкв = ò y2
0

Наибольшее распространение в задачах оптимального синтеза АСР получил интеграл (при ограничении на заданный запас устойчивости).

	8.3. Ограничения на запас устойчивости.
Показатели запаса устойчивости.			y(t)	А2
Степень затухания: y =	А1 - А3
				А3
	А1
Для устойчивых систем: ψ = 0 ÷ 1					t
Критерий оптимизации: Iл ® min при ψ = 0.9				А2

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

34

а) Прямые показатели (по виду переходного процесса).

1.

Степень затухания. На практике рекомендуется ψ = 0.7 ÷ 0.9

tp

2.

Интегральная степень затухания: y

Iл

ò y(t)dt

ин

=

=

0

,

Iм

tp

ò

y(t)

dt

0

Iл = Iм Þ yин = 1

Для устойчивых возмущений: yин = 0 ¸ 1

3.Степень перерегулирования: aп = А2 (в долях или процентах)

А1

Рекомендуют aп = 20%

б) Косвенные показатели запаса устойчивости. 1. корневой показатель m

jIm(ω)

Искусственно сужаем

φ область устойчивости

Re(ω)

Граница (корни r1,2 = ± jω)

Положение корней

2. частный показатель - M

Область устойчивости с запасом характеризуется tgγ m = tgg = wa - степень колебательности

r1,2 = -a ± jw = -m × w ± jw

y = 1 - e−2πm ; ψ → 1 ÷ 0; m → ∞ ÷ 0

Если m = 0 , то никакого запаса устойчивости не будет.

При ψ = 0.75 ÷ 0.9; m = 0.221 ÷ 0.366

	Wз.с.	(jw) =		Wp.c. (jω)
			1	+ Wp.c. (jw)

Aз.с. (w) = Wз.с. (jw)

M= A(ωp )

æö

Açw ÷ ç {o ÷ è ω=0 ø

M → 1 ÷ ∞

ìy ® 0.75 ïím ® 0.221 ïîM ® 1.55

Задавшись М, мы можем так отрегулировать процесс, чтобы A(wp ) касалась прямой линии М.

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

35

8.4. Математическое описание промышленных объектов регулирования.

1. Определяют кривые разгона.

Для большинства промышленных объектов регулирования различают:

а) Кривые разгона с самовыравниванием

(объект с самовыравниванием)

S-образные кривые, так как имеют точку перегиба Заштрихованная область характеризует инерционность объекта.

2. Определяют методом аппроксимации Wо (s); Wo (jw)s®jw Такой объект аппроксимируют цепочкой из звеньев:

З-звено

А1-звено

А2-звено

Аn-звено

k

k

k

e-t×s

T1 × s + 1

T2 × s + 1

Tn × s + 1

Wо

(s) =

ko × e-t×s

(T1 × s

+ 1)× (T2 × s + 1)×K× (Tn × s + 1)

Частный случай n = 1.

Проводится касательная в точке перегиба (точку перегиба можно определить визуально)

k × e-t×s

Wо (s) = To × s + 1

о

Wо (jw)			=	ko × e-t×jw
		s® jw		Tо × jw + 1

Первое приближение замены экспериментальной кривой разгона.

x(t)	e-t×s				k 0		y(t)
				T0	× s + 1

б) Кривые разгона без самовыравнивания.

Такая кривая разгона характерна для емкостей.

Апериодические звенья нужны, чтобы сгладить заштрихованный участок.

Заменяют:

	Передаточная функция: Wo	(s) =		1× e-t×s
			T × s × (T1 × s + 1)×K× (Tn × s + 1)
	При n = 1 Þ W (s) =	1× e-t×s		(последовательное соединение
	o	T × s

интегрирующего и запаздывающего звеньев).

КЧХ: Wo (jw) = 1T× e×-jtw×jw

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

36

8.5. Типовые алгоритмы функционирования линейных регуляторов. (Законы регулирования).

Регулирующее возмущение - m(t)

ε(t)=U-y(t)		μ(t) Оптимальное регулирующее воздействие:
	АР	m(t) = kp × e(t)+ kи × òe(t)dt + k д1 ×	de(t)	+ k д2

dt

kp × e(t) - пропорциональное (П) возмущение kи × òe(t)dt - интегральное (И) возмущение

k д2 × d2e(t) - дифференциальное (Д) возмущение dt2

Как правило, ограничиваются тремя первыми слагаемыми. Различают:

∙П-закон, И-закон (наиболее распространены)

∙ПИ-закон (широкое распространение)

∙ПИД-закон

Если ограничиться П-законом, то будет П-регулятор.

			8.5.1. П-регулятор (П-закон, П-алгоритм).
	ε(t)		μ(t) ТР – типовой линейный регулятор.
		ТР
			e(t) = U(t)- y(t) - отклонение регулируемой

× d2e(t) + K dt2

величины от заданного

значения. m(t) - регулирующее возмущение.

Для П-регулятора m(t) = kp × e(t) - временные частотные характеристики совпадают с П-звеном.

ПРИМЕР 1:

Пример П-регулятора – поплавковый регулятор уровня.

При уменьшении уровня H ¯ , задвижка смещается вверх, Gпр - . И наоборот Н -Þ Gпр ¯

ПРИМЕР 2:

Gст -; Рг ¯Þ Gпр -

Gст ¯; Рг -Þ Gпр ¯

Особенность П-регулятора: регулируемая величина не возвращается к исходному значению.

dст - остаточная неравномерность (статическая ошибка). m(t) = kp × e(t)

Если e(t)® 0 , то и m(t)® 0 и никакого регулирования не будет.

Остаточная неравномерность у П-регуляторов – их недостаток. Плюсы – быстродействие и простота П-регулятора.

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

37

При kp -® dст ¯ , но ухудшается устойчивость.

8.5.2. И-регулятор (И-закон – интегральный).

m(t) = 1 × òe(t)dt

Ти Ти - постоянная интегрирования (настроечный параметр И-регулятора)

По характеристикам совпадает с И-звеном.

Чем больше De(t), тем круче пойдет график m(t), а Ти - const . Чем меньше Ти , тем больше регулирующее значение.

Если Ти ® ¥ , то m(t) ® 0.

ПРИМЕР:

1 - манометр мембранный

2 - струйная трубка

3 - золотниковый усилитель

4 - поршневой исполнительный механизм

5 - клапан

6 - ресивер Давление Ргаз в ресивере (6) поднимается →

Мембрана (1) прогибается вверх, перемещая струйную трубку (2) вверх, преодолевая сопротивление пружины ® Р1 f Р2 . Под действием DР = Р1 - Р2 поршневой исполнительный

механизм (4) двигается вниз ® Gпр ¯ . Клапан будет перекрывать Gпр до тех пор, пока мембрана

не вернется в прежнее положение. Минусы: действует довольно медленно.

- сравнение примера 2 (П-рег.) и примера (И-рег.)

Чтобы динамическая ошибка (отклонение) была меньше, берут П-регулятор, но если dост недопустимо, то переходят к И-регулятору.

8.5.3. ПИ-регулятор.

m(t) = kp × e(t)+	kp		tp	e(t)dt
			ò
14243	Т
П	14243
		и 0

И

П – пропорциональная составляющая И – интегральная составляющая

kp - коэффициент усиления

kp = kи - коэффициент при И-составляющей

Ти

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

38

m(t) = kp × De + kp × De × t (при e(t) = De = const )

Ти

ПИ-регулятор – параллельное соединение П- и И-звеньев. Структура регулятора:

8.5.4. ПИД-регулятор. (Пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор)

		kp		tp		678 de(t)
m(t) = kp × e(t)+					e(t)dt + kp		k д
				ò			× Тд	×
		Т							dt
{	14243
ПИД	П		и 0			1442443
		14243					Д
					И

m(t) - кривая разгона (не переходная характеристика) Д–составляющая повышает чувствительность регулятора.

ПИД-регулятор настолько чувствителен, что из-за малейшего изменения объекта, он может вывести процесс из состояния равновесия и система пойдет в раскачку.

У того регулятора, частота которого больше, устойчивость меньше.

8.6. Основные сведения о нелинейных позиционных регуляторах. 8.6.1. Двухпозиционный релейный элемент.

Статистическая характеристика нелинейного релейного двухпозиционного регулятора.

m(t) = íì+ A,	e ³ 0
î- A,	e p 0

На практике:

Реальный двухпозиционный релейный элемент обладает свойством гистерезиса.

Dв - зона возврата (гистерезиса)

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

39

8.6.2. Трехпозиционный релейный элемент.

Удобно использовать, если у устройства есть 3 состояния, например: 1 - выключен 2 - движение по часовой стрелке

3 - движение против часовой стрелки Идеальная статистическая характеристика.

Dн - зона нечувствительности (регулируемая)

Движение по характеристике может быть и вправо, и влево.

ì			D	н
ï+ A,	e ³
			2
ï
m(t) = íï0, -	Dн p e p						Dн
ï	2		D				2
ï				н
ï- A,	e £
			2
î

Реальная статистическая характеристика:

Dв - зона возврата.

8.7. Одноконтурные АСР с ПИ-регулятором.

8.7.1. Расчет границы устойчивости АСР с ПИ-регулятором.

В основе расчета границ устойчивости лежит частотный критерий Найквиста: Wpc (jw) проходит через точку с координатами (- 1, j0).

Wpc (jw) = Wо (jw)× Wp (jw)

Две формы записи:

1.Wpc (jw) = Repc (jw)+ jImpc (jw)

2.Wpc (jw) = Apc (jw)× ejϕpc (jω)

Граница устойчивости:
	ìRe			pc		(w) = -1
1.	ï								Þ можно найти kp	и kи	(настроечные параметры)
	í					(w) =	0
	ïIm			pc
	î
	ìA		pc		(w) = 1
2.	ï							Þ можно найти kp		и kи	(настроечные параметры)
	í				(w) = -p
	ïj	pc
	î

w = 0 ¸ wсреза

kи = kр

Ти

Рассмотрим вариант 1:

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

40

ìW (jw) = Re

(w)+ jIm

о

(w)

ï о

о

ï

kи

íWПИ (jw)

= k

- j

w

ï рег

{p

ï

Reр (ω)

{

Imр (ω)

î

Wpc (jw) = Wо (jw)× WpПИ (jw)

ì

(w) = kp × Reo

(w)+

k

и

(w) = -1

ïRepc

× Im

о

w

ï

í

(w) = kp × Imо

(w)-

kи

(w) = 0

ï

ïImpc

× Reo

w

î

Программа 2 методические указания:

kp = -

Reo (w)

Reo2

(w)+ Imo2 (w)

kи =

kp

= -w ×

Imo (w)

Ти

Reo2

(w)+ Imo2 (w)

Задаваясь частотой w = 0 ¸ wсреза

Для реального регулятора настроечные параметры положительны.

Если взять любую точку внутри выделенной области, то при таких параметрах система будет устойчива.

8.7.2. Расчет границы заданного запаса устойчивости (m=mзад).

Мера запаса устойчивости m = mзад - корневой показатель.

Степень колебательности y = 1 - е−2πm

Вместо jw записываем

- w × m + jw (- m × w = -a)

123

определяет

запас

устойчивости

На границе устойчивости m = 0 .

Если m = 0.366 Þ y = 0.9

ì

Re (m,w)+ m × Im

(m,w)

ïkp = -

o

o

2

(

)

2

(

)

ï

Reo

m,w

+ Imo

m,w

[1]

í

kp

(

2 )

Imo (m,w)

ï

ïkи =

= -w × 1

+ m

×

Ти

2

2

(m,w)

î

Reo

(m,w)+ Imo

Чтобы на выделенной кривой выбрать оптимальную точку, необходимо применить интегральный критерий.

Другая форма записи системы [1]:

	А(w) =							; Cosj(w) =	Re(w)
				Re2 (w)+ Im2 (w)							Þ
									А(w)
			Cosj(w)
	ì
	ïkp	= -
					A(w)
	ï
	í				Sinj(w)
	ïk	= w ×
					A(w)
	î
	ï и