51

Оглавление

1. Уравнение линии на плоскости 2

1.1. Уравнение прямой на плоскости 2

1.1.1. Уравнение прямой по точке и вектору нормали 2

1.1.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки 3

1.1.3. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту 3

1.1.4. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору 3

1.1.5. Уравнение прямой в отрезках 4

1.1.6. Нормальное уравнение прямой. 4

1.1.7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой 5

1.2. Угол между прямыми на плоскости 5

1.3. Расстояние от точки до прямой 6

2. Кривые второго порядка 8

2.1. Окружность 8

2.2. Эллипс 8

2.3. Гипербола 10

2.4. Парабола 12

3. Системы координат 14

3.1. Полярная система координат 14

4. Аналитическая геометрия в пространстве 17

4.1. Общее уравнение плоскости 17

4.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки 17

Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой. 17

4.3. Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости 18

Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор . 18

4.4. Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости 18

Пусть заданы два вектора и , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы должны быть компланарны. 18

4.5. Уравнение плоскости по точке и вектору нормали 18

4.6. Уравнение плоскости в отрезках 18

4.7. Уравнение плоскости в векторной форме 19

4.8. Расстояние от точки до плоскости 19

5. Уравнение линии в пространстве 22

5.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору 22

5.2. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки 23

5.3. Общие уравнения прямой в пространстве 23

5.4. Угол между плоскостями 25

5.5. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей 26

5.6. Угол между прямыми в пространстве 26

5.7. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве 26

5.8. Угол между прямой и плоскостью 27

5.9. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве 27

6. Поверхности второго порядка 29

6.1. Цилиндрические поверхности 29

6.2. Поверхности вращения 30

7. Цилиндрическая и сферическая системы координат 34

7.1. Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной системами координат 35

7.2. Связь сферической системы координат с декартовой прямоугольной 35

7.3. Линейное (векторное) пространство 35

Свойства линейных пространств 36

Линейные преобразования 36

Матрицы линейных преобразований 37

Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования 39

8. Квадратичные формы 45

8.1. Приведение квадратичных форм к каноническому виду 46

1. Уравнение линии на плоскости

Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.

Определение. Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.

Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t.

Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.