Тема 12 Організаційна основа нормування забруднення поверхневих вод Практичне заняття 13 (№ зан. 33) – Контрольні задачі з питань оцінки стану природних ґрунтів

Серед підходів і методів моделювання стану навколишнього середовища, які застосовуються для ідентифіка­ції моделей за даними натурних спостережень, найбільшого поширен­ня набули методи самоорганізації, сплайн-апроксимації та ієрархічні моделі експертно-логічних систем прийняття рішень.

Принцип самоорганізації ґрунтується на пошуку моделі оптималь­ної складності за допомогою перебирання множини моделей-претендентів за зовнішніми критеріями. Мінімум критерію визначає єдину модель оптимальної складності, її структуру й параметри.

В умовах стохастичності зовнішнього середовища, але за наяв­ності деякої детермінованої інформації, моделювання екологічних процесів може здійснюватися на підставі сплайн-функцій, що зада­ють множину залежностей, зумовлену стохастичним параметром середовища.

У разі створення систем моніторингу аналіз стану довкілля та йо­го прогнозування найадекватніше відображається за допомогою ієрархічних експертно-логічних моделей прийняття рішень. Задача математичного моделювання процесів антропогенного впливу на довколишнє середовище полягає у виборі структури та оцінці параметрів рівняння:

Y = F(X),

де Y — вихідний вектор; F — оператор; X — матриця вхідних змінних.

Здебільшого структуру оператора F добирають, вивчаючи фізичні закономірності процесу та формулюючи на цій основі певні гіпотези.

Оцінка параметрів (друга задача) базується на мінімізації функ­ціоналів якості і здійснюється проекційними, ітеративними та про­екційно-ітеративними методами.

Методи прямого моделювання складних систем за експерименталь­ними даними грунтуються на використанні принципів евристичної само­організації, що вирішують обидві задачі водночас: у процесі виконання алгоритмів методу групового врахування аргументів (МГВА) не тільки визначають структуру оператора, а й оцінюють його параметри.

За цим методом моделі оптимальної складності відповідає міні­мум деякого критерію (критерію селекції). Самоорганізація моделей полягає в поступовому їх ускладненні й перебиранні, доки буде знайдено мінімум критерію добору (селекції).

У разі ідентифікації рівняння (2.1) МГВА відтворює схему масо­вої селекції: повний опис об'єкта

y = f(x_l,x₂,...,x_m), (2.2)

де f — деяка невідома функція, замінюється кількома рядами «час­тинних» описів:

y*₁ = f(x₁ ,x₂), У^* ₂=f₂(x₁,х₃),..., y*_m = f_m(x_n-1 x_n),

які оцінюються й добираються потім за критерієм селекції на дру­гий ряд.

У наступному ряді селекції вихідні змінні попереднього ряду Уи Уі, .... , Ут використовуються як вхідні змінні для частинних мо­делей цього ряду:

z*₁ =g(y₁,y₂),z ^*₂ =g(y_l,y₃),..., z ^*_m=g(y_n-1,y_n).

У результаті в деякому r-му ряді селекції за мінімумом відповід­ного критерію має місце єдине значення у_r, що відповідає дереву розв'язків (рис. 2.1). Усуваючи проміжні змінні, дістають залежності типу (2.2), структуру й параметри яких знаходять під час виконання алгоритму.

Основні алгоритми МГВА Математично структуру алгоритмів самоорганізації можна представити у вигляді алгоритмічного відображення:

А : Y_{г - 1}, -> Y_r(Y₀ = X), (2.3)

яке переводить на кожному r-му кроці множину Y_{r -1} векторів r -1-го ряду в Уr — множину векторів г-го ряду.

Тут у ^j_r є Y_r— вихідна змінна r-го ряду селекції, тобто

Багаторядний процес зображується у вигляді мережі S, з дугами V ^{k ,i}_{r -1, r} і вершинами К ^j r якої, залежно від цілей моделювання, зістав­ляються різні дії, функції й критерії, і складається з таких етапів:

• правило утворення підмножин пар вхідних змінних

[y ^{I k}_r-1,y ^{I m}_r-1] є Wr-i із вихідної множини Y_{r - 1}

• правило синтезу елементарних операторів

• правило утворення підмножин Y_{r -1} c Y*_r (добір за критерієм селекції);

• вибір дерева розв'язків за оптимумом критерію селекції у вершинах мережі.

Залежно від наведених правил одержують різні модифікації основного алгоритму МГВА. Так, якщо на множині Y_{r - 1}, утворюється множина пар W_{r -1} у вигляді різних комбінацій аргументів [y ^{I k}_r-1,y ^{I m}_r-1]» {mk; m,k = 1,...; F), то це відповідає основному алго­ритмові МГВА; якщо в кожному ряді селекції Y_r-1, містяться також початкові змінні Х(Х с Y_r-1), то це характерно для алгоритму з по­верненням до стартових змінних; різні алгоритми, залежно від потрібної якості кінцевої моделі, задає оператор селекції, який кожній множині У_r-1, ставить у відповідність його підмножину:

Y_r = R(Y ^* ). (2.5)

Так, відомі модифікації алгоритму самоорганізації, де як критерій селекції використовується мінімум похибки на окремій перевірочній послідовності даних спостережень; можливі варіанти використання критерію незміщеності, коефіцієнта кореляції тощо.

Узагальнений алгоритм МГВА з селекцією проекторів. Для синтезу оператора переходу у ^j_r - f,(y^{i k} _r-1 y^{i m} _r-1) у вершині K ^j_r мережі S в бага-торядних поліноміальних алгоритмах МГВА реалізується метод най­менших квадратів, що геометрично можна зобразити у вигляді опе­рації проектування вектора вихідної величини у на площину аргу­ментів (у^{i k}_r-1 у^{i m}_r-1), тобто уⁱ _r одержують як результат проектування уⁱ _r = Pj y деякими операторами Pj(j = 1,... ,S) вихідної величини у на відповідні площини. За даним трактуванням доведено теореми про збіжність основних алгоритмів МГВА на навчальній послідо­вності даних, а також виникла можливість синтезувати узагальнений алгоритм МГВА, що охоплює, як крайні випадки, два відомі: основ­ний та з послідовним виділенням трендів.

За основним алгоритмом МГВА під час r-го кроку початкова ве­личина у проектується на під простір пари змінних [у^{i k}_r-1 у^{i m}_r-1] з добо­ром (селекцією) за критерієм мінімуму середньоквадратичної похиб­ки на перевірочній послідовності найрегулярніших (точних) значень y^J_r+l. При цьому повний опис дістанемо у вигляді (2.2) за рахунок ви­лучення проміжних змінних із частинних описів (2.4).

За алгоритмом з послідовним виділенням трендів у проектується тільки на першому кроці, а потім проектується залишок _r =f—f, на найефективнішу змінну або її підпростір. Має місце наближений опис функції:

f _{n +1} = P_io y + P_j1]+ ... + P_{Jr r}+... + P_Jnn, (2.6)

де Р_іду — проекція у на першому кроці;Pj_r A_r — частинний опис (по­ліном степеня l (0 < l m) за однією змінною); Р_j — оператори ортого­нального проектування (проектори) на підпростір L_j = {x ⁰ _i, x ^j _i ,..., x ^m }. єднуючи обидва принципи проектування, наближений опис функції можна одержати у вигляді

f_r=P*y + P_ioy + P_joi+...₊ P_Jnn, (2.7)

де Р^*у — суперпозиція операторів, що відповідає дереву основного алгоритму

У^j_r = Р^*у, (2.8)

а інші доданки — проекції залишків, згідно з (2.6), — відповідають алгоритмові з послідовним виділенням трендів.

Рис. 2.2. Дерево розв'язків узагальненого алгоритму МГВЛ

Отже, наближення оператора (2.7) мають вигляд (рис. 2.2):

f_r =y ⁱ _r+ f_l ( x_il) +…+f_k ( x_{1 k}) (2.9)

де y ⁱ _r — розв'язок, одержаний за основним алгоритмом МГВА; f_l ( x_il) +…+f_k ( x_{1 k})- значення, знайдені за алгоритмом з послідовним виділенням трендів відносно залишку _r = у - y ⁱ

Останнім часом, крім поліноміальних алгоритмів МГВА, широ­ко розробляються і знайшли практичне застосування алгоритми об'єктивної кластеризації, самоорганізації математичних моделей для створення систем штучного інтелекту, багаторядні алгоритми кластер-аналізу, які є важливим інструментарієм моделювання й прогнозування стану навколишнього середовища.

Моделювання екологічних процесів на основі ідентифікації сплайн-функцій

Cтохастичні рівняння регресії. Нехай деякий екологічний процес залежить від неконтрольованого параме­тра , що характеризує природний вплив на даний об'єкт у. Пара­метр — вимірюваний (наприклад, опади, сонячна радіація тощо), а його значення істотно впливає на детерміновану залежність

v = f(x.a). (2.10)

тобто коефіцієнти рівняння a = a () є функціями стохастичного па­раметра 0, а процес задається стохастичним рівнянням регресії:

де у — вихідний показник, що залежить від детермінованої змінної х, описується багатопараметричною сім'єю кривих; а() — невідомі коефіцієнти моделі, функції параметра .

Для ідентифікації рівняння (2.11) необхідно на основі аналізу дослідних даних і умов задачі послідовно здійснити:

• перехід до узагальнених (агрегованих) змінних К = К(х, );

• ідентифікацію структури й параметрів рівняння

y =f (K) (2.12)

відомими методами (алгоритмами МГВА, сплайн-апроксимацією тощо);

• аналіз адекватності рівняння (2.12) та шляхи його використан­ня й удосконалення.

Визначення сплайн-функцій. Застосування моделей у вигляді сплайн-функцій доречне тоді, коли за змістом процес відображає можливість структурної зміни в різних областях вхідних змінних. Важливим моментом, який істотно впливає на спосіб побудови мо­делі, є тип переходу з одного режиму на інший. Виділяють дві ситуації. В першій із них модельований процес неперервний і перехід з режи­му на режим є гладеньким; у другій ситуації природа екологічного процесу така, що переходи з режиму на режим є стрибкоподібними. Сплайн-функції передбачають плавний перехід.

Використання моделей процесів стану навколишнього середови­ща у вигляді сплайн-функцій доцільне в ситуаціях, коли дослід­жується одновимірний випадок (зміна одного показника, зумовлена зміною іншого) і розглядувана залежність не має стрибків і розривів.

Надалі використовуватимемо параболічний сплайн.

Означення. Сіткою називається множина точок осі абсцис

= {К₀, К_l ,...,К₁}; кожна з (l+ 1) 3 точок К_j, j є [0 ; l]називається вузлом.

Нехай {у₀, yі,..., у,} — набір відповідних значень ординат.

Означення. Параболічним сплайном над Д, що інтерполює набір у,

називається функція f (K), така, що:

1) f (K) та її перша похідна неперервна на|K₀; K_l];

2) f (K) на даному інтервалі [K_{j -1} ,K_j ],j є[1; l] збігається з де-яким многочленом, що не більший другого степеня;

3) f (K)=y₁,jє[0;1]

Метод послідовної сплайн-апроксимації. Відповідно до наведеного означення проілюструмо на прикладі метод послідовної сплайн-апроксимації, коли = {К о, К₁ К₂, К₃] (рис. 2.3), а до функції f(K) ставляться такі вимоги:

• в області D₃ функція f3(K) — лінійна, що сполучає точки В і А;

• на відрізку D₂, коли К є D₂, функція f₂(K) — квадратична, що плавно в точці В переходить у лінійну f₂(К);

• f\(K) у точці С плавно переходить у f₂(К);

• точку М можна знаходити з умови, що f₁(K) оптимально апрок-симує дані спостережень — точки К^(І) в області D_t (за методом най­менших квадратів).

Виходячи з вимог до функції f(K), легко побачити, що в області D: f3(K) = 1 при K є [К₂, К₃] = D₃, в області D₂ невідомі коефіцієнти функції f₂(К) знаходимо з умов

Знайдену в такий спосіб функцію f₂(К) можна поширити на об­ласть D₁ на основі ідентифікації виразу для f₁(K). Даний вираз можна знайти з умови спряження в точці К = К1, тобто неперерв­ності сплайн-функції та її першої похідної:

(2.14)

а також із системи умовних рівнянь Гаусса:

b₀+b_{К_і+b₂К²_i =(y/y^max)_I , Кє D. (2.15)

На основі рівнянь (2.14) визначаються невідомі параметри b_о і b₁ як функції третього коефіцієнта b₂ і підставляються в систему (2.15). Із системи рівнянь (2.15) коефіцієнт b₂ знаходять за методом най­менших квадратів або за методом середніх.

Запропонований підхід до ідентифікації сплайн-функції можна узагальнити послідовною добудовою сплайна в областях D₂, D₃ з ви­користанням умовних рівнянь. У деяких випадках, після нанесення на графік точок (у/у ^mах, K),, значення абсцис і ординат сітки мож­на встановлювати за графіком, а сплайн-функцію визначати за до­помогою тільки теорії інтерполяції.

■ Приклад 2.1. Здобудемо сплайн-функцію залежності відносної вро­жайності у/у ^mах від коефіцієнта вологозабезпеченості K кормових буряків.

Як відомо, коефіцієнт вологозабезпеченості характеризує відношення поданих ресурсів на поле за період вегетації (фактич­на поливна норма х і опади ) до потрібних у даний рік ресурсів ( — дефіцит вологозапасів; — опади).

Підготовка даних для моделювання (табл. 2.1) полягає в розрахунку пар (у/у^mаxК)_і , спостережуваних у дослідах значень відносної вро­жайності і коефіцієнта вологозабезпеченості.

З цією метою в кожному досліді даного року знаходять варіант, що забезпечує максимальну вро­жайність за умов повної (максимальної) вологозабезпеченості.

Таблиця 2.1

Вихідні дані для побудови сплайн-функції залежності врожайності кормових буряків у/у ^max від коефіцієнта вологозабезпеченості К

У/У^max	К	У/У^max -1	К^2 -2К + 1
0,53	0,40	-0,47	0,36
0,99	0,88	0,01	0,01
0,54	0,44	-0,46	0,31

У/У^max	К	У/У^max-1	К^2 -2К + 1
0,53	0,42	-0,47	0,34
0,69	0,54	-0,31	0,21
0,94	0,80	-0,06	0,04
0,88	0,72	-0,12	0,08
0,33	0,37	-0,67	0,40
0,37	0,38	-0,60	0,38
—	—	(У/У^max-1)i=-3.17	(K-1)i^2=2.25

В області D₁ = (К : К 0,7} модель має такий самий вигляд, що і в області D₂= (К: 0,7 К 1}, оскільки апроксимує з достатньою точністю точки богари.

У загальному випадку f₂(К) продовжується в область D₁ на основі ідентифікації виразу для f₂(К) згідно з умовами (2.14).

Знайдене в даному варіанті значення + є базовим, що викори­стовується в знаменнику в коефіцієнті вологозабезпеченості. Для базового варіанта характерна точка

.

Інші варіанти точок розраховуються порівняно з даним варіантом дослідів, тобто визначаються відношенням

,

де х та у — значення по­точних варіантів досліду; + , y^max — значення базового варіанта.

Згідно з умовою, в точці К = 1 значення функції у /у^mах = 1, а її по­хідної {у/у ^тax))_K=І = 0.

Тоді, визначаючи з системи рівнянь

a_о+а,+а₂=1;

2а₂ + а₁ = 0

невідомі а₀ і а₁ та підставивши їх у рівняння

а_а+а₁К + а₂ К² = у/у^max

дістанемо

Значення а ₂ знаходимо за методом середніх, використовуючи дан табл. 2.1 (при К 0,7).

Числові значення описують модель сплайн-функції: