- •Тема 4. Интеграл лебега, теоремы о предельном переходе
- •1. Интеграл Лебега от простой функции
- •Свойства интеграла Лебега от простой функции.
- •2. Интеграл Лебега на множестве конечной меры.
- •Основные свойства интеграла Лебега по множеству конечной меры:
- •3. Абсолютная непрерывность и σ-аддитивность интеграла Лебега
- •4. Предельный переход под знаком интеграла Лебега
- •5. Интегрирование по множеству бесконечной меры
- •6. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана
- •Примеры решения задач
- •Задача 2. Интегрируема ли по Риману, по Лебегу функция , если да, то вычислить интеграл.
Тема 4. Интеграл лебега, теоремы о предельном переходе
1. Интеграл Лебега от простой функции
Числовая функция , заданная на измеримом пространстве с конечной мерой , называется простой, если она принимает конечное или счётное число различных значений и является измеримой.
Теорема 1. Функция f является простой тогда и только тогда, когда , где множества измеримы и принимает постоянное значение на множестве , k=1,2,.
Теорема 2. Для любой измеримой функции , заданной на измеримом пространстве (X,,) существует последовательность простых функций, сходящаяся к в каждой точке x. Если функция f ограничена на X, то последовательность можно выбрать равномерно сходящейся. Если , то можно выбрать так, чтобы последовательность была неубывающей.
Пусть – простая функция, принимающая значения , при . Обозначим через , тогда .
Функция f называется интегрируемой по Лебегу, если ряд сходится абсолютно. Если функция f интегрируема, то сумма этого ряда называется интегралом Лебега функции f, т.е.
.
Теорема. Пусть и пусть на каждом Bi функция f принимает значение . Тогда
,
причём функция f интегрируема на X тогда и только тогда, когда ряд сходится абсолютно.
Свойства интеграла Лебега от простой функции.
-
,
причём из существование интегралов в правой части следует существование интеграла в левой;
-
для всех ,
причём из существование интеграла в правой части следует существование интеграла в левой части;
3) ограниченная на X простая функция f интегрируема на X, причём, если на X, то
.
2. Интеграл Лебега на множестве конечной меры.
Пусть задано (X,,) – пространство с конечной мерой и f : XR измеримая функция.
Определение. Назовём функцию f интегрируемой (суммируемой) на X, если существует последовательность простых интегрируемых на X функций , сходящаяся равномерно к f. Интегралом Лебега функции f на множестве X называется предел интегралов от функций :
.
Различие в определениях интеграла Римана и интеграла Лебега заключается в том, что при составлении интегральных сумм Римана разбиение производится по признаку близости точек на оси OX, а при составлении интегральных сумм Лебега – по признаку близости значений функции.
Основные свойства интеграла Лебега по множеству конечной меры:
1) для любого измеримого множества
;
2) если – интегрируемы по Лебегу, то функция , где , интегрируема по Лебегу и справедливо равенство
;
3) если f – измеримая ограниченная функция, то она интегрируема по Лебегу;
4) если f – интегрируемая функция и , то
;
5) если f – интегрируемая функция и , то
;
6) если – интегрируемые функции и , то
;
7) если , где – интегрируемая, а – измеримая, то f интегрируема по Лебегу;
8) если , где – интегрируемые, а f – измеримая функция, то f – интегрируема.
9) если f – интегрируемая функция, а g – ограниченная измеримая функция, то – интегрируема, причём
.
10) если f интегрируема на X, то f интегрируема на любом измеримом подмножестве из X и
,
(это свойство называется аддитивностью интеграла Лебега);
11) функции f и интегрируемы или неинтегрируемы одновременно, причём справедлива оценка
;
12) если , то ;
13) если почти всюду на X, то ;
14) если почти всюду, то ;
15) если , то почти всюду на X.