33

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Запорізький національний технічний університет

МЕТОДІЧНІ ВКАЗІВКИ ТА ЗАВДАННЯ

до виконання самостійних робіт з теми: ”Диференційні рівняння першого порядку”

з курсу “Диференційні рівняння”

для студентів спеціальності 6.040303 „Системний аналіз”

денної форми навчання

2008

Методичні вказівки та завдання до виконання самостійних робіт з теми: ”Диференційні рівняння першого порядку” з курсу “Диференційні рівняння” для студентів спеціальності 6.040303 „Системний аналіз” денної форми навчання / Укл.: А.В.Савранська, О.В.Корнєєва, А.О.Кузьменко. – Запоріжжя: ЗНТУ,2008. - 38с.

Методичні вказівки містять індивідуальні завдання та теоретичні відомості до самостійних робіт з курсу “Диференційні рівняння”, приклади їх виконання для студентів спеціальності 6.040303 „Системний аналіз” денної форми навчання.

Укладачі: А.В. Савранська, доцент,

О.В.Корнєєва, асистент,

А.О.Кузьменко, асистент.

Рецензенти: О.І. Денисенко, доцент,

В.П. Пінчук, доцент

Експерт: В.Є. Бахрушин, професор

Відповідальний

за випуск Г.В. Корнич, професор.

Затверджено

на засіданні кафедри обчислювальної математики протокол №7 від 16.01.08 р.

ЗМІСТ

1 Самостійна робота №1:Методи розв’язання диференційних рівнянь першого порядку.........................................................................................4

1.1 Основні поняття теорії диференційних рівнянь. Метод ізоклін........................................................................................................4

1.2 Диференційні рівняння з розділеними змінними............................6

1.3 Однорідні диференційні рівняння, та рівняння, що до них зводяться...................................................................................................6

1.4 Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі та Ріккаті........................................................................................................7

1.5 Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник............8

1.6 Індивідуальні завдання......................................................................9

1.7 Приклади виконання задач самостійної роботи №1.....................18

2 Самостійна робота №2:Рівняння, які не розв’язані відносно похідної. Рівняння Лагранжа та Клеро. Особливі розв’язки.................................27

2.1 Індивідуальні завдання....................................................................29

2.2 Приклади виконання задач самостійної роботи №2....................32

3 Рекомендована література.....................................................................37

4 Вимоги до оформлення лабораторних робіт.......................................37

Додаток А Зразок титульної сторінки лабораторної роботи.................38

1 Самостійна робота № 1 Методи розв’язання диференційних рівнянь першого порядку

1.1 Основні поняття теорії диференційних рівнянь. Метод ізоклін

Диференційним рівнянням називається рівняння, яке пов’язує незалежну змінну , невідому функцію та її похідні , тобто рівняння вигляду

(1.1)

Порядком диференційного рівняння називається порядок найвищої похідної, яка належить рівнянню.

Розв’язком диференційного рівняння називається функція , визначена на проміжку разом зі своїми похідними до порядку включно, і таку, що підстановка функції в диференційне рівняння перетворює його на тотожність по на .

Графік розв’язку диференційного рівняння називається інтегральною кривою його розв’язку.

Рівняння першого порядку має вигляд

(1.2)

або

(1.3)

Теорема існування та єдності.

Нехай дано рівняння (1.3), де функція визначена в деякій області площини , яка містить точку . Якщо функція задовольняє наступним умовам:

а) є неперервною функцією двох змінних і в області ;

б) має часткову похідну , яка є неперервною по і в області , то існує єдиний розв’язок даного рівняння, який задовольняє умові

(1.4)

Умову (1.4) називають початковою.

Задачу знаходження розв’язку диференційного рівняння (1.3), який задовольняє умові (1.4) називають задачею Коші.

Загальним розв’язком диференційного рівняння (1.3) називається функція , яка залежить від однієї довільної змінної і така, що:

а) вона задовольняє рівнянню (1.3) при довільний значеннях сталої ;

б) при довільній початковій умові (1.4) можна підібрати таке значення сталої , що функція буде задовольняти даній початковій умові. При цьому вважається, що точка належить області, де виконуються умови існування та єдиності розв’язку.

Частковим розв’язком диференційного рівняння (1.3) називається розв’язок, який отримується із загального розв’язку при будь-якому значенні довільної сталої .

Співвідношення вигляду , яке неявно визначає загальний розв’язок, називається загальним інтегралом диференційного рівняння першого порядку. Співвідношення, яке отримується із загального інтегралу при конкретному значенні сталої називається частковим інтегралом диференційного рівняння.

Рівняння визначає у кожній точці , де існує функція , значення , тобто кутовий коефіцієнт дотичної до інтегральної кривої в цієї точці. Таким чином, диференційне рівняння визначає поле напрямків. Геометричне місце точок площини , в яких нахил дотичних до розв’язків рівняння однаковий, називається ізокліною. Рівняння ізокліни має вигляд , де - стала.

Для того щоб наближено побудувати розв’язок рівняння , можна накреслити достатню кількість ізоклін, після чого накреслити розв’язки, тобто криві, які в точках перетину з ізоклінами , , . . . мають дотичні з кутовими коефіцієнтами відповідно , . . .

Нульова ізокліна дає рівняння ліній, на яких можуть знаходитися точки максимуму та мінімуму інтегральних кривих.

1.2 Диференційні рівняння з розділеними змінними

Диференційне рівняння вигляду

(1.5)

називається рівнянням з розділеними змінними.

Загальний інтеграл рівняння знаходиться інтегруванням лівої та правої частин (1.5).

Диференційне рівняння вигляду

(1.6)

де - сталі, заміною змінних перетворюється в рівняння з розділеними змінними.

При діленні обох частин рівняння на вираз, якій містить невідомі і , можуть бути втрачені розв’язки, що перетворюють цей вираз в нуль.