2.9 Прогноз і його надійні інтервали

Прогнозуванням називається наукове передбачення імовірнісних шляхів розвитку явищ і процесів для більш-менш віддаленого майбутнього.

Періодом упередження називають проміжок часу від моменту, для якого є останні статистичні дані про досліджуваний об’єкт, до якого належить прогноз.

Прогнозування, яке базується на збереженні тенденції розвитку явищ у часі, можна звести до добору аналітичних виразів типу Y=f(X) за даними за минуле й екстраполяції здобутих залежностей.

Прогноз показника дістають підстановкою в здобуте регресій не рівняння значень фактора. Результатом є точкова оцінка середнього значення показника при даних рівнях факторів.

Середнє значення прогнозу показника при значенні фактора відповідно до лінійної регресії визначається за формулою:

(2.48)

Знайдемо надійні межі прогнозу. При визначенні дисперсії показника необхідно враховувати ще одну невизначеність – розсіяння навколо лінії регресії. Оскільки , то рівняння відповідає дисперсія.

(2.49)

Заміняючи його точковою оцінкою S, залишимо межі надійних інтервалів індивідуальних прогнозованих значень

(2.50)

2.10 Нелінійна парна регресія

Найбільш популярною моделлю в економіці є лінійна регресія. Проте не всі економічні процеси можна нею моделювати. Тому на практиці використовуються складніші моделі з нелінійною залежністю між показником Y і фактором Х. За методикою оцінок параметрів парні нелінійні регресії розглядають двох видів:

• нелінійні за факторами, але лінійні за невідомими параметрами, які підлягають оцінці;

• нелінійні за факторами і параметрами.

Регресії нелінійні за факторами, але лінійні за оцінювальними параметрами, називаються квазілінійними.

Розглянемо загальний випадок квазілінійних парних регресій. Нехай нам відомий статистичний ряд:

Х x1 x2 … xn

Y y1 y2 … yn

Парну квазілінійну регресію можна записати в загальному вигляді:

= aj(X)+ b. Заміною величин Zi = j(Xi) (i = 1,n ) нелінійна парна регресія зводиться до лінійної парної регресії: Y =Z + b. Формули для оцінки параметрів набувають вигляду:

(2.51)

Коефіцієнт еластичності для парної квазілінійної регресії оцінюється за формулою: К= аj¢ (Х)Х/ .

Розглянемо квазілінійну регресію

У= а/х +в (2.52)

Заміною Z = ¹/_х ця квазілінійна регресія зводиться до лінійної у= аz + в.

Регресія у = ве^ах є неквазілінійною. Вона зводиться до лінійної логарифмуванням

ln Y = aX+ lnb. Після заміни Y₁ = ln Y, b₁ =lnb отримаємо парну лінійну регресію: Y₁ = a₁X+b₁, де

_{n n n}

nåXilny_i - åXi ålny_i

^{i=1 i=1 i=1}

a = _{n n} (2.53)

nåX²i - (åXi )²

^{i =1 i=1}

(2.54)

Звідси b = ЕХР(b₁). Коефіцієнт еластичності знаходиться за формулою

Ù Ù

K = Y¢X/Y = aX. (2.55)