6.3. Свойства внутреннего закона композиции.

Операции на мно­жестве S могут обладать некоторыми общими свойствами, которые обычно выражаются соотношениями между элементами из S:

коммутативность a┬b=b┬a;

ассоциативность а┬(b┬с)=(а┬b)┬с;

дистрибутивность слева (а┬ b)┴с = (a┴с)┬(b┴с) и справа с┴(a┬b)=(с┴а)┬(с┴b).

На множестве действительных чисел сложение и умножение ассоциативны и коммутативны. Умножение дистрибутивно (слева и справа) относительно сложения, но сложение не дистрибутивно относительно умножения. Возведение в степень не ассоциативно (), не коммутативно (), но дистрибутивно справа относительно умножения, так как . Пересечение и объединение множеств взаимно дистрибутивны относительно друг друга. Если в множестве F  S композиция любых двух элементов из F также при надлежит F, то F называется замкнутым относительно рассматриваемого закона композиции (подмножество четных чисел является замкнутым относительно сложения и умножения).

6.4. Регулярный, нейтральный и симметричный элементы.

Закон композиции наделяет элементы множества некоторыми общими свойствами. При различных законах одни и те же элементы могут обладить различными свойствами. Поэтому имеет смысл говорить о свойствах элементов множества S относительно заданного на нем закона композиции ┬.

Элемент а называется регулярным, если из соотношений а┬х = а┬у и х┬а = у┬а следует х = у (сокращение на регулярный элемент). Всякое число регулярно относительно сложения. а для умножения регулярно всякое число, кроме нуля (0х = 0у не влечет х = у).

Нейтральным элементом е  S называют такой элемент, что для всех элементов х  S справедливо е┬х = х┬е = х (если нейтральный элемент существует, то он единственен и регулярен). Среди чисел нуль - нейтральный элемент относительно сложения, а единица - относительно умножения. Пустое множество является нейтральным элементом относительно объединения, а основное множество (универсум) - относительно пересечения. На множестве всех квадратных матриц п-го порядка с числовыми элементами ну левая и единичная матрицы служат соответственно нейтральными элементами относительно сложения и умножения.

Если множество содержит нейтральный элемент е относительно закона композиции ┬, то элемент b называется симметричным (обратным, противоположным) элементу а, если а ┬ b = b ┬ а = е, при этом а называют симметризуемым элементом и b обозначается через , т.е. . Относительно ассоциативного закона элемент , симметричный элементу а (если он существует), един­ственен и регулярен.

При сложении симметричным некоторому числу х будет -х, а при умножении х^-1. Например, симметричными элементами на множестве квадратных матриц п-го порядка относительно умно­жения являются взаимно-обратные матрицы. Множество всех соб­ственных подмножеств относительно объединения или пересечения не содержит симметричных элементов. Множество, в котором всякий элемент имеет симметричный, называется симметризуемым.

6.5. Аддитивные и мультипликативные обозначения.

Свойства законов композиции можно представить в двух формах. В аддитив­ных обозначениях операция ┬ записывается символом сложения (+), а в мультипликативных - символом умножения (). Если мно­жество наделено двумя законами композиции, то чаще всего первый из них ┬ считается аддитивным, а второй ┴ - мультипликатив­ным. В аддитивной записи нейтральный элемент обозначается через 0 и называется нулем, а симметричный элементу а — через (-а). В мультипликативной записи нейтральный элемент обозна­чается через 1 и называется единицей, а симметричный элементу a — через а^-1.

В отличие от элементарной алгебры знаки + и  не обязательно обозначают сложение и умно­жение чисел. Они просто заменяют в различных соотношениях символы ┬ и ┴, указывая на то, что над элементами множества (не обязательно числами) выполняются некоторые операции. Эти опера­ции могут лишь внешне напоминать обычные операции сложения или умножения чисел, но по существу в общем случае — это дру­гие операции. Удобство аддитивных и мультипликативных обозна­чений состоит в том, что при операциях над числами различные соотношения совпадают с общепринятой формой записи.