8.3. Линейные пространства
Непустое множество L называется линейным, или векторным, пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:
I. Для любых двух элементов х, у L однозначно определен третий элемент z L, называемый их суммой и обозначаемый х + у, причем
1) х + у = у + х (коммутативность),
2) х + (у + z) = (х+ у) + z (ассоциативность),
3) в L существует такой элемент 0, что х + 0 = х для всех x L (существование нуля),
4) для каждого x L существует такой элемент -х, что х + (-х) = 0 (существование противоположного элемента).
II. Для любого числа α и любого элемента х L определен элемент x L (произведение элемента х на число ), причем
1) (х)=()х,
2) 1·х=х
3) ( + )х = x + x,
4) (х+у) = х + у.
В зависимости от того, какой запас чисел (все комплексные или только действительные) используется, различают комплексные и действительные линейные пространства. Заметим, что всякое комплексное линейное пространство можно рассматривать как некоторое действительное пространство, если ограничиться в нем умножением векторов на действительные числа.
Рассмотрим некоторые примеры линейных пространств.
1. Прямая линия R1, т. е. совокупность действительных чисел с обычными арифметическими операциями сложения и умножения, представляет собой линейное пространство.
2. Совокупность всевозможных упорядоченных наборов из п действительных чисел , где сложение и умножение на число определяются покоординатно, также является линейным пространством. Оно называется действительным п-мерным арифметическим пространством и обозначается символом Rn. Аналогично, комплексное п-мерное арифметическое пространство Сn определяется как совокупность наборов п комплексных чисел (с умножением на любые комплексные числа).
3. Непрерывные (действительные или комплексные) функции на некотором отрезке [a,b] с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа образуют линейное пространство С [a, b] , являющееся одним из важнейших в математическом анализе.
Линейные пространства L и L* называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, которое согласовано с операциями в L и L*. Это означает, что из
следует
и ,
где α - произвольное число.
Изоморфные пространства можно рассматривать как различные реализации одного и того же пространства. Примерами изоморфных линейных пространств могут служить арифметическое п-мерное пространство (действительное или комплексное) и пространство всех многочленов степени п-1 (соответственно с действительными или комплексными коэффициентами) с обычными операциями сложения многочленов и умножения их на числа.
8.4. Нормированные пространства
Пусть L - линейное пространство. Функция р, определенная на L, называется нормой, если она удовлетворяет следующим трем условиям:
1) р(х) 0, причем р(х) = 0 только при х = 0,
2) p(x + y) p(x) + p(y), x,y L.
3) р(x) = \\ р(х), каково бы ни было число .
Линейное пространство L, в котором задана некоторая норма, мы назовем нормированным пространством. Норму элемента x L мы будем обозначать символом .
Всякое нормированное пространство становится метрическим пространством, если ввести в нем расстояние
Справедливость аксиом метрического пространства тотчас же вытекает из свойств нормы. На нормированные пространства переносятся, таким образом, все те понятия и факты, которые справедливы для метрических пространств.
Рассмотрим примеры нормированных пространств. Многие из пространств, рассматривавшихся в качестве примеров метрических пространств, в действительности могут быть наделены естественной структурой нормированного пространства.
1. Прямая линия R1 становится нормированным пространством, если для всякого числа х R1 положить
2. Если в действительном п-мерном пространстве Rn с элементами положить
то все аксиомы нормы будут выполнены. Формула
определяет в Rn ту самую метрику, которую мы в этом пространстве уже рассматривали.
В этом же линейном пространстве можно ввести норму
или норму
Эти нормы определяют в Rn метрики, которые мы рассматривали в примерах 4 и 5 п. 1. Проверка того, что в каждом из этих случаев аксиомы нормы действительно выполнены, не составляет труда.
3. В пространстве С [a, b] непрерывных функций на отрезке [a, b] определим норму формулой
Соответствующая метрика уже рассматривалась в примере 6 п. 1.