- •VIII. Неустановившееся движение газа в пористой среде
- •Вывод дифференциального уравнения движения газа
- •Линеаризация уравнения Лейбензона и основное решение линеаризованного уравнения
- •Решение задачи о притоке газа к скважине методом последовательной смены стационарных состояний
- •Приближенное решение задачи об отборе газа из замкнутого пласта
VIII. Неустановившееся движение газа в пористой среде
-
Вывод дифференциального уравнения движения газа
Теория движения газа в пористой среде была разработана Л.С. Лейбензоном. Он получил дифференциальное уравнение для определения давления в пласте при неустановившемся движении в нем идеального газа. Б.Б.Лапук в работах, посвященных основам разработки месторождений природных газов, показал в частности, что неустановившуюся фильтрацию газа можно рассматривать как изотермическую, так как изменения температуры газа, возникающие при изменении давления, в значительной мере компенсируются теплообменом со скелетом пористой среды.
Для вывода дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации идеального газа подставим в уравнение неразрывности (2.2)
выражения (2.1) для компонент скорости фильтрации
и уравнения состояния (плотности) идеального газа (2.14)
.
Считая коэффициенты пористости m0, проницаемости и вязкости газа постоянными, из уравнения (2.2) на основании (2.1) и (2.14) получим
. (8.1)
Выражения в скобках в левой части уравнения (8.1) можно представить следующим образом:
,
тогда уравнение (8.1) примет вид
. (8.2)
Выражение в скобках представляет собой оператор Лапласа относительно Р2, поэтому уравнение (8.2) можно кратко записать в виде
. (8.3)
Полученное дифференциальное уравнение (8.3) неустановившейся фильтрации газа называется уравнением Лейбензона и представляет собой нелинейное уравнение параболического типа. Заметим, что оно справедливо для идеального газа при выполнении закона Дарси. Изменением пористости пренебрегают, потому что оно входит в уравнение неразрывности (2.2) в виде произведения (m), в котором плотность газа изменяется в гораздо большей степени, чем пористость.
Уравнение Лейбензона (8.3) можно записать иначе, умножив правую и левую части на давление Р и заменив ;
получаем . (8.4)
Для решения конкретных задач, связанных с неустановившейся фильтрацией газа, дифференциальное уравнение в форме (8.3) или в форме (8.4) должно быть проинтегрировано по всей газовой залежи при заданных начальных и граничных условиях. Но поскольку уравнение (8.3) или (8.4) представляет собой сложное нелинейное уравнение в частных производных, то оно не имеет точных аналитических решений даже в самых простых одномерных случаях. Его можно проинтегрировать численно с помощью ЭВМ или решить приближенным способом. Приближенные способы хорошо разработаны (например, метод ПССС).
Неустановившаяся фильтрация реального газа с уравнением состояния
и с учетом зависимости = (Р) в недеформируемой пористой среде (m0 = const; k = const) описывается следующим нелинейным дифференциальным уравнением параболического типа:
.
(8.5)
Это уравнение можно проинтегрировать численным методом на ЭВМ или решить приближенно при помощи электрических моделей.