Тема 10. Динаміка Відносного руху точки

Основний закон відносного руху матеріальної точки

Нехай невільна матеріальна точка рухається по деякій траєкторії під дією активної сили . Точка невільна, отже на неї діють обмеження руху (положення чи швидкості) – так звані в’язі. Щоб зробити матеріальну точку вільною, необхідно звільнитись від в’язі і замінити дію в’язі реакцією в’язі . Це основна аксіома про в’язі.

Закони Ньютона виконуються при русі точки відносно нерухомої системи координат, яку називають інерціальною системою координат. Запишемо другий закон Ньютона в цій системі координат:

, (10.1)

де – абсолютне прискорення точки, тобто прискорення точки відносно нерухомої системи координат; – активна сила; – реакція в’язі.

Вияснимо, чи зміниться основне рівняння динаміки, якщо рух даної точки розглядати відносно системи координат, яка рухається довільним чином відносно нерухомої системи координат. Рух точки відносно нерухомої системи координат є складним. Як відомо, абсолютне прискорення точки складається з відносного, переносного і коріолісового прискорень

, (10.2)

де і – відповідно відносне і переносне прискорення; – Коріолісове прискорення; – вектор переносної кутової швидкості рухомої системи координат ; – відносна лінійна швидкість точки .

Підставимо вираз (10.2) в (10.1), маємо . Останній вираз перепишемо у вигляді: . Позначимо

, (10.3)

де – переносна сила інерції; – коріолісова сила інерції. Тоді

. (10.4)

Вираз (10.4) є основним рівнянням динаміки відносного руху матеріальної точки . Порівняння виразів (10.1) і (10.4) показує, що при вивченні руху точки відносно рухомої системи координат необхідно враховувати переносну силу інерції і коріолісову силу інерції .

Якщо вираз (10.4) спроектуємо на осі рухомої системи координат, то матимемо диференціальні рівняння відносного руху точки в скалярній формі:

,

, (10.5)

.

Переносне прискорення точки у загальному випадку дорівнює

, _(10.6)

де – прискорення точки – початку рухомої системи координат, останні доданки – переносні дотичне і нормальне прискорення точки , викликані обертанням системи координат навколо центра . Підставимо вираз (10.6) в . Маємо . Введемо позначення:

, , (10.7)

Тоді

, (10.8)

де – переносна сила інерції центра , – переносна дотична сила інерції, – переносна нормальна сила інерції.

Підставимо вираз (10.8) в (10.4). Тоді основний закон динаміки відносного руху матеріальної точки запишеться у вигляді

. (10.9)

Сили інерції , , , , і прискорення , , , , , що їм відповідають, напрямлені протилежно.

Окремі випадки закону відносного руху матеріальної точки

1. Початок рухомої системи координат рухається прямолінійно і рівномірно (). Тоді основний закон відносного руху точки має вигляд

. (10.10)

2. Нехай рухома система координат рухається поступально з прискоренням . Тоді кутова швидкість і кутове прискорення рухомої системи координат дорівнюють нулю, тому . Це означає, що сили інерції . Закон динаміки відносного руху точки буде мати вигляд

. (10.11)

3. Нехай рухома система координат виконує прямолінійний рівномірний рух. Тоді , а це означає, що сили інерції . Отже, основний закон динаміки відносного руху точки набуде вигляду

. (10.12)

Порівнюючи вираз (10.12) з законом Ньютона, записаним відносно нерухомої системи координат, бачимо, що другий закон Ньютона виконується і при русі точки відносно рухомої системи координат, яка рухається прямолінійно і рівномірно. Таким чином, інерціальними системами координат є не тільки нерухомі, а і ті, що рухаються рівномірно і прямолінійно. Принцип відносності класичної механіки: ніякі досліди всередині системи не можуть встановити, рухається ця система рівномірно і прямолінійно чи знаходиться в стані спокою.

4. Відносний спокій точки. Нехай рухома система координат рухається довільним чином, а точка відносно цієї системи не переміщується ().

Тоді , і , основне рівняння відносного спокою:

. (10.13)