2 События: а и в называют несовместными, если
23. Классическое и статистическое определение вероятности случайного события. Непосредственный подсчет вероятности событий для простейших опытов.
Определение классической вероятности:
Если - конечномерное пространство элем.Событий, каждое из которых равновозможное, то вероятностью события а называется отношение числа исходов, благопрепятствующих событию а к общему числу исходов.
,
где m – число исходов,
благоп.А, n – общее число
исходов.
Ex: Опыт – бросание кубика.
,
,
m=2, n=6
1.Вероятность достоверного события:
2.Вероятность невозможного события:
3.Вероятность случайного события:
Непосредственный подсчет вероятностей:
Вычислить вероятность по классической формуле можно в тех случаях, когда удается подсчитать как общее число исходов, так и число исходов, благопрепятствующих нужному событию (т.е. найти m и n). Для этого применяют формулы комбинаторики (подсчет комбинации).
24. Вычисление вероятности случайных событий на основе формул комбинаторики. Правило умножения, перестановки, сочетания.
Правило умножения:
Если элемент А можно выбрать K
способами, элемент В – Р способами, то
пару АВ можно выбрать
при соблюдении порядка следования.
Ex1: 20 мальчиков, 40 девочек – сколько пар можно составить для танцев?
N=20*40=800 ПАР
Ex2: кодовый замок сейфа содержит [][][], в каждой из которых можно набрать от 0 до 9. Какова вероятность открыть сейф с 1й попытки?
Общее число комбинаций N=10*10*10=1000
.
Правило перестановки:
Перестановками из N-элементов называются комбинации из N-элементов, которые отличаются друг от друга только порядком следования.
Число перестановок вычисляется по
формуле
Ex: Сколькими способами можно расставить 5 книжек?
Правило сочетания из n-элементов по m.
[из
n по m]
Сочетанием из n-элементов по m штук называют комбинации, сост. из m-элементов каждая, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементов.
Число таких сочетаний вычисляется по формуле:
Ex: в группе 20 человек, для поездки в Голландию выбрали 3 чел. Какова вероятность того, что поедет конкретная тройка? Выбор троек производится случайно.
Решение: число различных троек:
m=1,
-
вероятность «никакая».
25. Теоремы сложения вероятностей для несовместных и совместных событий.
Теорема 1: вероятность суммы 2х несовместных событий вычисляется по формуле:
P(A+B) = P(A) + P(B)
Теорема 2: Если события A и B совместны, то формула такова:
P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)
Сумму событий можно представить следующим образом:
A + B = A*
+ A*B +
*B
Тогда, учитывая, что события A
,
AB,
B
несовместны, получим вероятность: P(A+B)
= P(A
)
+ P(AB) + P(
B)
(*). Представим событие A
следующим образом:
A = A
+ AB (несовместны), тогда
P(A) = P(A
)
+ P(AB)
P(A
)
= P(A) – P(AB) (**)
Событие B можно представить в виде:
B = AB +
B
(несовместны), тогда P(B)
= P(AB) + P(
B)
P(
B)
= P(B) – P(AB) (***)
Подставляем (**) и (***) в (*), получаем:
P(A+B) = P(A) - P(AB) + P(AB) + P(B) – P(AB) = P(A) + P(B) –P(AB)
P(A+B) = P(A) +P(B) –P(AB)
Как вычислять P(AB), будет показано ниже. Т.о. для суммы событий справедливы формулы:
P(A+B) = P(A) + P(B), если A,B – несовместны
P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB), для несовместных событий.
Следствия из теорем:
-
Формула суммы несовместных событий может быть применена для любого числа слагаемых.
-
Вероятность противоположного события вычисляется по формуле: P(
)
= 1 – P(A)
26. Правила умножения вероятностей для зависимых и независимых событий. Понятие условной вероятности события.
A и B независимые, если вероятность появления A не зависит, произошло B или нет.
A и B зависимые события, если вероятность появления A зависит, произошло ли B или нет.
Для зависимых событий вводится понятие условной вероятности ( P(A/B) )
P(A/B) – вероятность A при условии, что B произошло.
P(B/A) – вероятность B при условии, что A произошло.
Теорема 3: если A и B независимые события, то P(A*B) = P(A)*P(B)
Пример: 2 стрелка стреляют по мишени. P попадания 1ого – 0,7, вероятность попадания 2ого – 0,6.
A – попал 1й, B – попал 2й, P(A) = 0,7, P(B) = 0,6.
Какова P того, что попадут оба? C – попали оба – C = A*B
P(C) = P(AB) = P(A)*P(B) = 0,7*0,6 = 0,42
Теорема 4: если A и B зависимые события, то справедлива формула:
P(A*B) = P(B)*P(A/B)
P(A*B) = P(A)*P(B/A)
