Закон сохранения импульса

Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек (для краткости будем называть ее системой тел). Тела, входящие в систему, могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не принадлежащими данной системе. В соответствии с этим силы, действующие на тела системы, можно подразделить на внутренние и внешние. Внутренними мы будем называть силы, с которыми на данное тело воздействуют остальные тела системы, внешними — силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих системе.

В случае, если внешние силы отсутствуют, система называется замкнутой.

Импульсом системы р называется векторная сумма импульсов тел, образующих систему

Назовем центром инерции системы точку, положение которой в пространстве задается радиусом-вектором r_с, определяемым следующим образом:

где m_i — масса i-го тела, r_i — радиус-вектор, определяющий положение этого тела в пространстве, m — масса системы.

Декартовы координаты центра инерции равны проекциям r_с на координатные оси:

Отметим, что центр инерции в однородном поле тяжести совпадает с центром тя­жести системы.

Скорость центра инерции получается путем дифференцирования r_с no времени:

Учитывая, что m_iv_i есть р_i, a ∑p_i дает импульс системы р, можно написать

Таким образом, импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра инерции.

Пусть система состоит из трех тел (рис. 51). Каждой из внутренних сил, например f₁₂, т. е. силе, с которой на тело 1 воздействует тело 2, соответствует сила f₂₁, с которой тело 1 воздействует на тело 2, причем но третьему закону Ньютона f₁₂ = — f₂₁.

Символами F1, F2 и F3 обозначены результирующие всех сил, с которыми внешние тела воздействуют соответственно на 1-е, 2-е и 3-е тело системы. Напишем для каждого из трех тел уравнение (22.3)

Сложим все три уравнения вместе. Сумма внутренних сил будет равна нулю, вследствие чего

При отсутствии внешних сил получается, что

следовательно, для замкнутой системы р постоянен.

8. 8-я лекция. Соударение двух тел

Абсолютно неупругий удар. Абсолютно упругий центральный удар шаров.

Момент импульса относительно точки и относительно оси. Плечо импульса. Момент силы. Плечо силы. Пара сил. Уравнение для производной момента импульса по времени.

Момент импульса системы материальных точек. Закон сохранения момента импульса. Движение в центральном поле сил (качественно). Космические скорости.

Центральный удар шаров

При соударении тел друг с другом они претерпевают деформации. При этом кинетическая энергия, которой обладали тела перед ударом, частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и в так называемую внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии тел сопровождается повышением их температуры.

Существуют два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий. Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию и тела разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяются двумя условиями — сохранением полной энергии и сохранением полного импульса системы тел.

Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальной энергии деформации не возникает; кинетическая энергии тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию; после удара столкнувшиеся тела либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса, закон же сохранения механической энергии не соблюдается — имеет место закон сохранения суммарной энергии различных видов -

механической и внутренней. Мы ограничимся рассмотрением центрального удара двух шаров. Удар называется центральным если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры. При центральном

ударе соударение может произойти, если: 1) шары движутся навстречу друг другу (рис. 70,а) и 2) один из шаров догоняет другой (рис. 70,б).

Будем предполагать, что шары образуют замкнутую систему или что внешние силы, приложенные к шарам, уравновешивают друг друга.

Рассмотрим вначале абсолютно неупругий удар. Пусть массы шаров равны m₁ и m₂, а скорости до удара v₁₀ и v₂₀. В силу закона сохранения суммарный импульс шаров после удара должен быть таким же, как и до удара:

(V — одинаковая для обоих шаров скорость после удара).

Из (30.1) следует, что

Поскольку векторы v₁₀ и v₂₀ направлены вдоль одной и той же прямой, вектор v также имеет направление, совпадающее с этой прямой. В случае б) (см. рис. 70) он направлен в ту же сторону, что и векторы v₁₀ и v₂₀. В случае а) вектор v направлен в сторону того из векторов v_i0, для которого произведение m_iv_i0 больше.

Модуль вектора v может быть вычислен по следующей формуле:

где v₁₀ и v₂₀ — модули векторов v₁₀ и v₂₀; знак « — » соответствует случаю а), знак « + » — случаю б).

Теперь рассмотрим абсолютно упругий удар. При таком ударе выполняются два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии.

Обозначим массы шаров m₁ и m₂, скорости шаров до удара v₁₀ и v₂₀ и, наконец, скорости шаров после удара v₁ и v₂. Напишем уравнения сохранения импульса и энергии:

Преобразуем (30.4) следующим образом:

Учитывая, что (А² — В²) = (А— В) (А + В), приведем (30.5) к виду

Из соображений симметрии можно утверждать, что скорости шаров после удара будут направлены вдоль той же прямой, вдоль которой двигались центры шаров перед ударом. Следовательно, все векторы в (30.6) и (30.7) коллинеарны. Это дает возможность заключить из сравнения (30.6) и (30.7), что

Умножая (30.8) на m₂ и вычитая результат из (30.6), а затем умножая (30.8) на m₁ и складывая результат с (30.6), получим векторы скоростей шаров после удара:

Для численных подсчетов спроектируем (30.9) на направление вектора v₁₀:

В этих формулах v₁₀ и v₂₀ — модули, a v_i и v₂ — проекции соответствующих векторов. Верхний знак « — » соответствует случаю шаров, движущихся навстречу друг другу, нижний знак « + » — случаю, когда первый шар нагоняет второй.

Отметим, что скорости шаров после абсолютно упругого удара не могут быть одинаковыми. В самом деле, приравняв друг другу выражения (30.9) для v₁ и v₂ и произведя преобразования, получим

Следовательно, для того чтобы скорости шаров после удара оказались одинаковыми, необходимо, чтобы они были одинаковыми и до удара, но в этом случае соударение не может произойти. Отсюда следует, что условие равенства скоростей шаров после удара несовместимо с законом сохранения энергии. Итак, при неупругом ударе механическая энергия не сохраняется — она частично переходит во внутреннюю энергию соударяющихся тел, что приводит к их нагреву.

Рассмотрим случай, когда массы соударяющихся шаров равны: m₁ и m₂. Из (30.9) следует, что при этом условии

9. 9-я лекция. Неинерциальные системы отсчета.

Силы инерции. Центробежная сила инерции. Зависимость ускорения свободного падения от широты местности. Сила Кориолиса.

Принцип эквивалентности. Масса инертная и масса гравитационная.