18. Порядки поліномів

ТЕОРЕМА 35. Для будь-якого полінома степеня m, , існує натуральне число таке, що .

Фактор-кільце має ненульових елементів (класів лишків за модулем ). Так як – ненульові елементи цього фактор-кільця і їх кількість , то серед них хоча б два співпадають: . Поліном взаємно простий з , тому існує і можемо домножити обидві частини останньої рівності на . Отже, 

 Порядком полінома , , називається найменше натуральне число , при якому . Порядок полінома позначається :

.

Якщо, то g, очевидно, ділиться на x в деякому степені, тобто він може бути представлений у вигляді , де . Тоді приймається, що .

 Порядок іноді називають періодом або експонентою полінома.

ТЕОРЕМА 36. Нехай – незвідний поліном, , . Порядок полінома f співпадає з порядком будь-якого його кореня в .

За наслідком 2 теор.34 у незвідних поліномів всі корені мають один і той самий порядок. Нехай – корінь , r – порядок . Тоді , тобто – корінь полінома . Оскільки f – незвідний, тобто з точністю до нормування співпадає з мінімальним поліномом , то будь-який інший поліном, коренем якого є , ділиться на (теор. 22, п.2), тобто . Але r – найменший степінь з такою властивістю (r – порядок ), отже, .

Наслідок теореми 36. Якщо – незвідний поліном, , то .

Порядок коренів полінома ділить порядок мультиплікативної групи поля .

• Для звідних поліномів може не ділити . Приклад буде розглянутий далі.

ТЕОРЕМА 37. Нехай – натуральне число. Поліном ділить двочлен тоді і тільки тоді, коли ділить .

Позначимо . . , а так як , то .

Навпаки, нехай N, . Далі, . Так як , , то має ділити і , а так як , то це можливо лише при . Отже, .

ТЕОРЕМА 38. Якщо, де g – незвідний поліном над скінченним полем характеристики p, , N, то , де N .

4Покладемо . Якщо , то й (теор.37). Так як , то ділить . З теор.37 випливає, що . Враховуючи, що , маємо: . Згідно з наслідком теор.36, не ділиться на , тому поліноми і не мають спільних коренів має тільки прості корені. Тому всі корені полінома мають кратність . Так як поліном ділить , то, порівнюючи кратності коренів, маємо , так що . Таким чином, і .3

ТЕОРЕМА 39. Якщо , де – попарно взаємно прості ненульові поліноми, , то .

4Нехай , , НСК(). Тоді З попарної взємної простоти випливає, що . З теор.36. З іншого боку, . Знову звертаючись до теор.36, бачимо, що . Отже, . 3

З теор.38, 39 очевидно випливає наступне правило обчислення порядків поліномів.

ТЕОРЕМА 40. Нехай – скінченне поле характеристики p, – канонічний розклад полінома , ,deg>0. Тоді

,

де N.

Приклад.

Знайдемо порядок полінома .

Поліном незвідний над , отже його порядок збігається з порядком його коренів. Нехай - корінь . . Таким чином, .

Поліном також незвідний над . Якщо – його корінь, то , отже (обидва поліноми і виявилися примітивними).

Знайдемо .

Зауважимо, що 60 не є дільником 1023=2¹⁰–1, бо поліном звідний.

Наведемо один з способів знаходження порядку незвідного полінома.

Нехай незвідний поліном, ,, . Позначимо . Нехай - розклад числа на прості множники. Так як за насл. теор. 36 , то , де . Будемо шукати , виходячи з того, що – найменше натуральне число таке, що . Для кожного підрахуємо . Якщо , це означає, що входить в у максимальному степені, тобто . Якщо ж , то і будемо обчислювати , ,... доти, доки не одержимо . Таким чином знаходимо і .