- •Глава 1 Проекции точки.
- •1.2. Задание точки н комплексном чертеже Монжа (эпюр Монжа)
- •1.2.1 Пространственная (или декартовая) система координат. Плоскости проекций
- •1.2.2 Проецирование точки на две плоскости проекций. Четверти пространства
- •1.2.3 Проекции точки на три плоскости проекций. Октанты пространства
- •1.2.4 Точки проекций общего и частного положения.
- •1.3. Обратимость чертежа
- •Глава 2 Проекции прямой .
- •2.1. Проецирование прямой на три плоскости проекции.
- •2.2. Положение прямой относительно плоскости проекций.
- •2.3 Определение натуральной величины отрезка
- •2.4. Следы прямой.
- •2.5. Взаимное положение прямых в пространстве.
- •2.6. Конкурирующие точки.
- •2.7. Определение видимости точки
- •2.8. Теорема о проецировании прямого угла.
- •Глава 3 Проекции плоскости
- •3.1 Способы задания плоскости на эпюре
- •3.2 Следы плоскости
- •3.3 Принадлежность прямой и точки заданной плоскости
- •3.4 Плоскости общего и частного положения
- •3.5 Главные линии плоскости
- •3.6 Построение линии пересечения двух плоскостей
- •3.7. Построение точки пересечения прямой и плоскости
- •3.8 Параллельность прямой и плоскости
- •3.9 Перпендикулярность прямой и плоскости
- •3.10 Параллельность плоскостей
- •3.11 Перпендикулярность плоскостей
- •Примеры позиционных и метрических задач на плоскость
- •Глава 4 Методы преобразования комплексного чертежа (эпюра Монжа)
- •4.1. Четыре основных задачи на преобразование
- •4.2. Метод замены (перемены) плоскостей проекций
- •4.3. Метод плоско-параллельного перемещения
- •4.4. Метод вращения вокруг проецирующей прямой?
- •4.5 Метод вращения вокруг линии уровня
- •4.6. Метод вращения вокруг следов плоскости (совмещение)
- •Глава 5 Многогранники
- •5.1. Задание многогранников на эпюре Монжа (общие положения)
- •5.2. Виды многогранников
- •5.3. Пересечение многогранника плоскостью
- •5.4. Пересечение многогранника прямой
- •5.5. Взаимное пересечение многогранников
- •5.6. Пересечение многогранников с кривой поверхностью
- •5.7. Развертка многогранных поверхностей методом нормального сечения
- •5.8. Развертка многогранных поверхностей методом раскатки
- •5.9. Развертка многогранных поверхностей методом треугольников (триангуляции)
- •Глава 8. Обобщенные позиционные задачи.
- •8.1 Пересечение кривой поверхности плоскостью.
- •8.3 Построение линии пересечения двух поверхностей методом вспомогательных секущих плоскостей (плоскостей посредников) Взаимное пересечение поверхностей
- •8.4 Построение линии пресечения двух поверхностей методом секущих сфер (концентрических сфер посредников)
- •8.5 Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка.
- •Глава 10. Касательные плоскости.
- •10.1.Построение плоскости, касательной к кривой поверхности.
- •10.2. Построение очертаний поверхности на комплексном чертеже.
- •Глава 11 Аксонометрические проекции.
- •11.1. Основные понятия и определения.
- •11.3. Треугольник следов и его свойства. Теорема Польке.
- •11.4. Прямоугольная аксонометрия и ее свойства.
- •Построение в изометрической проекции плоских фигур.
- •Построение аксонометрической проекции окружности.
- •Разрез в аксонометрических проекциях.
- •11.5. Способы построения трехмерного чертежа.
- •11.6. Построение теней в аксонометрии.
- •Литература
- •Глава 12 тени в ортогональных проекциях
- •12.1. Геометрические основы теории теней
- •12.2. Построение тени от точки
- •12.3. Построение тени от прямой
- •12.4 Построение тени от плоской фигуры
- •12.5 Метод обратных лучей
- •12.6. Построение теней геометрических тел
- •12.7 Собственные и падающие тени на фасадах зданий
11.3. Треугольник следов и его свойства. Теорема Польке.
Треугольник следов и его свойства.
В общем случае плоскость картины пересекает координатные плоскости по линиям, которые своими отрезками образуют так называемый треугольник следов (рисунок 11.3, 11.3а)
Рисунок 11.3 Рисунок 11.3а
Изображение имеет главную и вторичную проекции. Главной называется изображение А´ самой точки А; вторичной – изображение первичной проекции точки на какой – либо плоскости координат П1 П2 П3. Вторичных проекций может быть три, но преимущественно используется вторичная проекции на горизонтальной плоскости. При необходимости по главной и вторичной проекции могут быть построены и другие вторичные проекции на П2 и П3.
Таким образом, в аксонометрии имеется два поля проекций: поле главной и поле вторичной проекций. Обычно в начале строится вторичная проекция, а затем главная.
В этом плане аксонометрия не имеет принципиального отличия от ортогональных проекций, о чем свидетельствует решение задачи определения точки пересечения прямой АВ с плоскостью, заданной отсеком, аналогично решению в ортогональных проекциях (рисунок 11.4)
Рисунок 11.4
Аксонометрическое изображение (главная и вторичная проекции оригинала) с осями и масштабами являются обратимой проекцией и позволяет восстановить объект в пространстве.
Теорема Польке.
При построении параллельной проекции можно произвольно выбрать плоскость проекций П´ и направление проецирования.
Очевидно, любое изменение взаимного положения осей координат и плоскости проекций и всякое изменение направления вызовет как изменение положения аксонометрических осей, так и коэффициентов искажения по ним.
Геометр прошлого века К. Польке в 1853г., изучая вопрос о том, в какой зависимости находятся направление аксонометрических осей и коэффициенты искажения по ним от направления проецирования и положения плоскости проекций, пришел к следующему выводу.
Три произвольно выбранные отрезка О´x´, O´y´, O´z´ (рисунок 11.1) на плоскости П´, выходящие из одной точки, представляют параллельную проекцию трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков Ox, Oy, Oz, выходящих из некоторой точки пространства. Доказательство теоремы Польке приведено в курсе Е.А. Глазунова и Н.Ф. Четверухина «Аксонометрия» (Гостехиздат, 1953).
Эта теорема К. Польке имеет существенное значение как для аксонометрии, так и для многих ее приложений. На основании теоремы Польке системы аксонометрических осей, а так же отношение коэффициентов искажения по ним могут быть заданны совершенно произвольно.
Коэффициенты искажения пропорциональны соответственно отрезкам, изображающим аксонометрические оси. Действительно, отрезки О´x´, О´y´, О´z´, которые являются числителями дробей, определяющих коэффициенты искажений u, v, w, могут быть согласно теореме Польке выбраны произвольно. Но все эти три произвольно выбранных отрезка служат параллельной проекцией трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков пространства. Пусть длина каждого из них равна m. Составив отношение u : v : w = : : и, заменяем Ох, Оу, Оz через m, получим: u : v : w = O´x : O´y´ : O´z´, что и доказывает пропорциональность коэффициентов искажения соответствующим отрезкам.