5. Задача 5
“Расчет тонких плит при поперечном изгибе”
5.1. Введение
Тело, у которого
толщина мала
по сравнению с другими размерами,
называется тонкой
плитой или пластинкой. Рассмотрим
плиту, которая имеет постоянную толщину
(рис. 30). Плоскость, равноотстоящая от
верхней и нижней поверхности плиты
(делящая толщину плиты пополам), называется
срединной
плоскостью
плиты.
Рис. 30
Оси
и
лежат в срединной плоскости недеформированной
плиты, а ось
перпендикулярна к ней.
Для большинства инженерных конструкций точное решение системы основных уравнений, которые получены в теории упругости, оказывается очень трудным, а часто и невозможным. В таких случаях приходится применять или приближенное решение системы уравнений, или принимать некоторые упрощения, более или менее справедливые лишь для определенного типа конструкций (тонкостенных стержней, тонких плит, оболочек и т. д.). Решение задачи определения напряжений и деформаций, полученного таким образом, является приближенным. Однако опыты с конструкциями, для которых получены приближенные решения, указывают, что эти решения часто оказываются вполне приемлемыми для инженерной практики.
Будем рассматривать малые деформации тонких плит под действием нагрузок, перпендикулярных к срединной плоскости.
Под малыми деформациями подразумеваются такие деформации, при которых прогибы удовлетворяют соотношению
(5.1)
Плиты называются тонкими, если их толщины удовлетворяют соотношению
(5.2)
где
– наименьший размер плиты в плане.
Решения рассматриваемой ниже прикладной теории тонких плит в оговоренном диапазоне плит и величин деформаций имеют удовлетворительную для технических расчетов точность. Они получены на основании следующих двух допущений, предложенных Кирхгофом:
1. «Гипотеза прямых нормалей». Нормали к срединной плоскости до нагружения после изгиба в результате деформации не искривляются и остаются перпендикулярными к срединной поверхности.
Это допущение аналогично «гипотезе плоских сечений» в теории изгиба балок. Оно представляет, по существу, пренебрежение влиянием деформации сдвига на общее напряженно-деформированное состояние плит. Так же как и для балок, указанное допущение вносит тем большую погрешность, чем толще плита по сравнению с её пролетами.
2. Напряжения
по площадкам, параллельным срединной
плоскости плиты, малы по сравнению с
другими компонентами напряжения, т. е.
(5.3)
Это допущение аналогично допущению теории изгиба балок о том, что “продольные волокна не давят друг на друга”. Оно может внести ощутимую погрешность только для весьма толстых плит.
На основании
допущения (5.3) в формулах обобщенного
закона Гука (3.4) можно отбросить
,
как величину весьма малую по сравнению
с расположенными рядом напряжениями
и
.
Исходя из этого, имеем
(5.4)
Откуда следует, что
(5.5)