По кинематике и динамике

ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЙ¹

Разделы механики

Кинематика	Изучает движение тел, не рассматривая причины, которые это движение обуславливают
Динамика	Изучает законы движения тел и причины, которые вызывают или изменяют это движение
Статика	Изучает законы равновесия системы тел. Если известны законы движения тел, то из них можно установить и законы равновесия

Физические модели в механике

Материальная точка	Тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче можно пренебречь. Понятие материальной точки – абстрактное, но его введение облегчает решение практических задач. Например, изучая движение планет по орбитам вокруг Солнца, можно принять их за материальные точки.
Система материальных точек	Произвольное макроскопическое тело или систему тел можно мысленно разбить на малые взаимодействующие между собой части, каждая из которых рассматривается как материальная точка. Тогда изучение движения произвольной системы тел сводится к изучению системы материальных точек. В механике сначала изучают движение одной материальной точки, а затем переходят к изучению движения системы материальных точек.
Абсолютно твердое тело	Тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя материальными точками этого тела остается постоянным
Абсолютно упругое тело	Тело, деформация которого подчиняется закону Гука, а после прекращения действия внешних сил принимает свои первоначальные размеры и форму.
Абсолютно неупругое тело	Тело, полностью сохраняющее деформированное состояние после прекращения действия внешних сил

Система отсчета. Кинематические уравнения движения

Тело отсчета	Произвольно выбранное тело, относительно которого определяется положение других (движущихся) тел. Положение любого движущегося тела определяется по отношению к телу отсчета, поэтому механическое движение относительно
Система координат	Система (в простейшем случае прямоугольная декартова система xyz (см. рисунок)), связанная с телом отсчета

Рис. 1

Система отсчета

Совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и синхронизированных между собой часов

Кинематические уравнения движения материальной точки

Траектория, длина пути, вектор перемещения

Траектория	Линия, описываемая движущейся материальной точкой или телом относительно выбранной системы отсчета В зависимости от формы траектории различают прямолинейное движение, криволинейное движение, движение по окружности и т.д. Вид траектории зависит от характера движения материальной точки и от системы отсчета
Вектор перемещения	Вектор , проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени (приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени)

Рис. 2

Длина пути

Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой за данный промежуток времени: - скалярная функция времени. При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и модуль перемещения равен пройденному пути:

КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Скорость

Векторная величина, которая определяет как быстроту движения, так и его направление в данный момент времени

Рис. 3

Средняя скорость

Векторная величина, определяемая отношением приращения радиуса-вектора точки к промежутку времени , в течение которого это приращение произошло.

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением

Мгновенная скорость

Векторная величина, определяемая первой производной радиуса вектора движущейся точки по времени.

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения (Рис. 3)

Модуль мгновенной скорости

Модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени

Единица скорости

Ускорение и его составляющие

Ускорение

Характеристика неравномерного движения, определяющая быстроту изменения скорости по модулю и направлению.

Среднее ускорение

Векторная величина, равная отношению изменения скорости к интервалу времени, за которое это изменение произошло

Мгновенное ускорение

Векторная величина, определяемая первой производной скорости по времени

Составляющие ускорения

Тангенциальная

Характеризует быстроту изменения скорости по модулю, направлена по касательной к траектории

Рис. 4 Нормальная	Характеризует быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории- рис. 4)
Полное ускорение при криволинейном движении
Модуль полного ускорения
Единица измерения ускорения

Классификация движения

в зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения

		Движение
0	0	Прямолинейное равномерное
== const	0	Прямолинейное равнопеременное
=f(t)	0	Прямолинейное с переменным ускорением
0	const	Равномерное по окружности
0	 0	Равномерное криволинейное
const	 0	Криволинейное равнопеременное
=f(t)	 0	Криволинейное с переменным ускорением

ПРИМЕРЫ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ ДВИЖЕНИЯ

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО ПУТИ

КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Элементарный угол поворота

Элементарные (бесконечно малые) повороты рассматривают как векторы. Модуль вектора равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, то есть подчиняется правилу правого винта

	Угловая скорость	Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, то есть так же, как и вектор . Угловая скорость – векторная величина, определяемая первой производной угла поворота тела по времени
Связь модулей линейной и угловой скоростей
Связь векторов линейной и угловой скоростей			Положение рассматриваемой точки задается радиусом вектором . Векторное произведение совпадает по направлению с вектором .
Единица угловой скорости			1 рад/с
ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ПО ОКРУЖНОСТИ Равномерное движение по окружности
Движение, при котором материальная точки (тело) за равные промежутки времени проходит равные по длине дуги окружности. Угловая скорость = const; -угол поворота Характерной особенностью равномерного движения по окружности со скоростью, постоянной по модулю (=const), являет то, что оно – ускоренное. Это обусловлено тем, что при постоянном модуле направление скорости все время изменяется.
Период вращения				Время, за которое материальная точка совершает один полный оборот по окружности, то есть поворачивается на угол
Частота вращения				Число полных оборотов, совершаемых материальной точкой при равномерном ее движении по окружности, в единицу времени
Ускорение материальной точки, равномерно движущейся по окружности
				Тангенциальная составляющая ускорения при равномерном движении точки по окружности равна нулю.

		Нормальная составляющая ускорения (центростремительное ускорение) направлена по радиусу к центру окружности. В любой точке окружности вектор нормального ускорения перпендикулярен вектору скорости. Ускорение материальной точки, равномерно движущейся по окружности в любой ее точке, центростремительное
Угловое ускорение.
Равноускоренное движение по окружности	Угловое ускорение – это векторная величина, определяемая первой производной угловой скорости по времени. Размерность углового ускорения Если =const, то движение по окружности равноускоренное . Так как , а , то в этом случае - начальная угловая скорость , здесь - начальный угловой путь.
Направление вектора углового ускорения

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору , при замедленном – противонаправлен ему. Вектор - псевдовектор (аксиальный вектор)
Связь линейных и угловых ускорений

ОСНОВЫ ДИНАМИКИ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Первый закон Ньютона.

Формулировка первого закона Ньютона.

Всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние. (В этой формулировке Ньютон привел закон, установленный еще Галилеем).

Эта формулировка тем самым утверждает существование инерциальных систем отсчета .

Масса и импульс тела. Сила.

Масса тела,	Физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства. Можно считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу (с точностью, не меньшей 10^-12 их значения) Масса – величина аддитивная (масса составного тела равна сумме масс его частей); если движение происходит со скоростями много меньше скорости света, то массу можно считать величиной постоянной, не изменяющейся при движении тела. Единица измерения массы = кг.
Импульс материальной точки (тела)		Векторная величина, численно равная произведению массы материальной точки(тела) на ее скорость и имеющая направление скорости Единица измерения импульса
Сила,	Векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры. В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения.
ОСНОВНОЙ ЗАКОН ДИНАМИКИ Общая формулировка второго закона Ньютона
	Скорость изменения импульса материальной точки(тела) равна действующей на нее(него) силе. Записанное уравнение называют еще уравнением движения материальной точки
или	Еще одна формулировка второго закона Ньютона Ускорение, приобретаемое материальной точкой(телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки(тела) Единица измерения силы .
Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета.
ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА Формулировка третьего закона Ньютона
Всякое действие материальных точек (тел) друг на друга имеет характер взаимодействия: силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы. - сила, действующая на первую материальную точке со стороны второй - сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

В случае замкнутой системы, когда внешние силы отсутствуют (или геометрическая сумма внешних сил равна нулю) или общей формулировки второго закона Ньютона имеем или .

Импульс замкнутой системы сохраняется, то есть

не изменяется с течением времени.

Этот закон – фундаментальный закон природы (Он универсален).

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Момент инерции, Единицы измерения

Физическая величина, равная сумме произведений элементарных масс на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. Суммирование производится по всем элементарным массам , на которые можно разбить тело. Момент инерции – величина аддитивная: момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей Момент инерции материальной точки рассчитывается как В случае непрерывного распределения масс момент инерции рассчитывается как интеграл по объему. Здесь - плотность тела в данной точке; - масса малого элемента тела объемом , отстоящего относительно оси вращения на расстоянии .

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ОДНОРОДНЫХ ТЕЛ

МОМЕНТ СИЛЫ.

УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Момент силы относительно неподвижной точки О	Физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора , проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу . - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к
Модуль вектора момента силы Единицы измерения
Уравнение динамики вращательного движения твердого тела
		Момент сил твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции относительно той же оси на угловое ускорение. Выведем эту формулу , но для вращательного движения тогда или Вывод сделан для материальной точки и для случая, когда угол(см. выражение для модуля момента силы)

Момент импульса Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки О		Физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора материальной точки, проведенного из точки О, на импульс этой материальной точки. псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к
Модуль вектора момента импульса
Момент импульса абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси z
Единицы измерения
Еще одна форма записи уравнения динамики вращательного движения твердого тела
Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы В замкнутой системе момент внешних сил и , тогда

Аналогия в описании

поступательного и вращательного движений

РАБОТА. МОЩНОСТЬ. ЭНЕРГИЯ

КИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ

Кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью v

Определяется работой, которую надо совершить, чтобы сообщить телу данную скорость.

Кинетическая энергия всегда положительна; является функцией состояния системы.

Работа сил при перемещении из точки 1 в точку 2.

.

Потенциальная энергия и консервативные силы

Потенциальная энергия.

Механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Потенциальное поле.

Поле, в котором работа, совершаемая силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений.

Консервативные силы

Сила, работа которой при перемещении тела из одного положения в другое не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений тела. Пример – сила тяжести.

Если работа консервативных сил совершается по замкнутому пути, то она равна нулю.

Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком «минус», так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии

.

Связь между консервативной силой и потенциальной энергией.

.

Конкретный вид функции зависит от характера силового поля.

Потенциальная энергия тела массой на высоте

- Это выражение вытекает из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести при падении тела с высоты на поверхность Земли. Высота отсчитывается от нулевого уровня, для которого , - ускорение свободного падения.

Поскольку начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда положительна!).

Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина ),

Потенциальная энергия упруго деформированного тела (пружины)

Это выражение получается из того, что работа силы при деформации пружины идет на увеличение потенциальной энергии пружины.

- коэффициент упругости (для пружины – жесткость).

Полная механическая энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

Закон сохранения и превращения энергии.

Энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.

В этом заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии – сущность неуничтожимости материи и ее движения.

Этот закон – фундаментальный закон природы, он справедлив как для систем макроскопических тел, так и для систем микротел.

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Работа при вращении тела

Кинетическая энергия вращающегося тела

ВОПРОСЫ К СЕМИНАРУ ПО МЕХАНИКЕ

1. Как рассчитать путь S при равномерном, равнопеременном движении?

2. Как рассчитать мгновенную линейную скорость? Единицы измерения мгновенной линейной скорости?

3. Как рассчитать мгновенное линейное ускорение? Единицы измерения линейного ускорения?

4. Как рассчитать нормальное ускорение a_n при движении тела по криволинейной траектории? Что показывает нормальное ускорение?

5. Как рассчитать тангенциальное ускорение? Что показывает тангенциальное ускорение?

6. Как рассчитать полное ускорение?

7. Как рассчитать путь при равномерном, равнопеременном вращении с угловой скоростью  ?

8. Записать формулы связи между линейными и угловыми величинами.

9. Основной закон динамики вращательного движения. Две формулы. ( В векторной форме)

10. Закон сохранения момента количества движения. Формулировка и математическая запись.

11. Как рассчитать момент силы М? (По определению). Формулу записать в векторной и скалярной формах. Единицы измерения момента силы.

12. Как рассчитать момент количества движения? (По определению). Формулу записать в векторной и скалярной формах. Единицы измерения момента количества движения.

13. Как рассчитать момент инерции J материальной точки массой m относительно оси, находящейся от нее на расстоянии r ? .Единицы измерения момента инерции

14. Как рассчитать кинетическую энергию тела, движущегося поступательно? Единицы измерения энергии

15. Как рассчитать потенциальную энергию, которой обладает тело, поднятое над землей на высоту h?

16. Как рассчитать потенциальную энергию сжатой пружины, коэффициент упругости которой k?

17. Как рассчитать работу А по перемещению силой F какого-либо груза на расстояние s ? Единицы измерения работы?

18. Как рассчитать мощность? Единицы измерения мощности.

19. Как рассчитать кинетическую энергию вращающегося тела?

20. Что обозначено каждой буквой в предложенной Вами формуле для расчета кинетической энергии вращающегося тела?