- •Часть 3 элементы аналитической геометрии
- •1. Системы координат на плоскости
- •1.1. Декартова и полярная системы координат на плоскости
- •1.2. Основные приложения метода координат на плоскости
- •1.3. Преобразования системы координат
- •Системы координат на плоскости
- •2. Прямая на плоскости
- •2.1. Линии на плоскости. Основные понятия
- •2.2. Уравнения прямой на плоскости
- •Из первых двух равенств находим:
- •2.3. Прямая на плоскости. Основные задачи
- •Б) в случае, когда прямые и заданы общими уравнениями, угол между прямыми можно определить как угол между нормальными векторами и этих прямых.
- •Пример 12. Найти угол между прямыми и .
- •Пример 14. Показать, что прямые и перпендикулярны.
- •Прямая на плоскости
- •3. Кривые второго порядка на плоскости
- •3.1. Окружность
- •3.2. Эллипс
- •Свойства эллипса:
- •3.3. Гипербола
- •3.4. Парабола
- •Свойства параболы:
- •3.5. Общее уравнение кривых второго порядка
- •Кривые второго порядка
- •4. Плоскость в пространстве
- •4.1. Уравнения плоскости в пространстве
- •4.2. Плоскость. Основные задачи
- •Плоскость в пространстве
- •5. Прямая в пространстве
- •5.1. Уравнения прямой в пространстве
- •5.2. Прямая в пространстве. Основные задачи Возможные случаи расположения прямых l1 и l2 в пространстве:
- •1) Под углом между прямыми l1 и l2 понимают угол между направляющими векторами и этих прямых, поэтому по известной формуле для косинуса угла между векторами, получаем:
- •Прямая в пространстве
- •6. Прямая и плоскость в пространстве основные задачи
- •Откуда уравнение искомой плоскости: .
- •Прямая и плоскость в пространстве
- •7. Поверхности второго порядка
- •Классификацию поверхностей приведем в таблице 7.
- •Классификация поверхностей 2-го порядка
- •8. Типовой расчет 3 элементы аналитической геометрии Варианты индивидуальных заданий
- •Литература
- •Содержание
Часть 3 элементы аналитической геометрии
Аналитическая геометрия – это раздел геометрии, в котором геометрические объекты исследуются алгебраическими методами, основанными на методе координат.
Метод координат описал французский философ и математик Рене Декарт (1596–1650). А применение его к изучению пространственных линий и поверхностей впервые было сделано Леонардом Эйлером (1707–1783).
1. Системы координат на плоскости
1.1. Декартова и полярная системы координат на плоскости
В основе метода координат лежит понятие системы координат. Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки на плоскости.
Декартова система координат на плоскости. Декартова система координат (ДСК) – это две взаимно перпендикулярные оси и с выбранным положительным направлением и масштабом. Оси называют осями координат, – осью абсцисс, – осью ординат. Точка О пересечения осей и называется началом координат. Такую систему координат обозначают .
Координатами точки М в системе координат называются координаты радиус-вектора , и называются абсциссой и ординатой точки М соответственно. Точка М имеет координаты и обозначают как .
Эти два числа и полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел и соответствует единственная точка плоскости, и наоборот.
Полярная система координат на плоскости. Полярная система координат на плоскости задается точкой , называемой полюсом, лучом , называемым полярной осью, и единичным вектором того же направления, что и луч (рис. 14).
Положение точки М в этой системе задается двумя числами: так называемым полярным радиусом и полярным углом , то есть углом между полярной осью и вектором .
Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки.
Точка М, заданная таким образом, имеет полярные координаты .
В полюсе , а угол неопределенен. Для остальных точек плоскости , а изменение угла ограничим пределами: .
Соотношения между декартовыми и полярными координатами. Совместим декартову систему координат на плоскости с полярной системой координат так, чтобы ось Ох совпала с полярной осью ОР, а начало координат – с полюсом (рис. 15).
Рис.
15
Пусть точка М в декартовой системе координат имеет координаты (х, у), а в полярной – .
Тогда:
(3.1)
, (3.2)
причем для однозначности определения угла по его тангенсу надо учитывать знаки х и у.
Формулы (3.1) позволяют вычислить декартовы координаты точки по известным полярным координатам, а формулы (3.2) – наоборот, по известным декартовым координатам находят полярные.
Из формул (3.1) и (3.2) следует, что:
(3.3)
Пример 1. В полярной системе координат требуется построить точки и .
Решение. Построение показано на рис. 16.
Проведем луч, образующий угол с полярной осью, и от полюса отложим отрезок, длина которого равна 2. Конец отрезка – искомая точка А.
Аналогично, строим точку В, учитывая, что откладываемый на полярной оси отрезок равен 3.
Пример 2. В декартовой системе координат дана точка . Найдите координаты точки М в полярной системе координат.
Решение. Воспользуемся формулами (3.2):
Искомая точка М имеет координаты: .