5.5. Течение вязкой жидкости

При ламинарном режиме течения жидкости вследствие хаотического теплового движения молекул происходят их переходы между соседними движущимися слоями. В результате таких переходов молекулами переносится импульс направленного движения и, и как следствие этого, происходит изменение импульса движущихся слоев жидкости. В соответствии со вторым законом Ньютона возникает сила, равная скорости изменения импульса и направленная в сторону, противоположную направлению течения жидкости. Эта сила называется силой внутреннего трения (или вязкости), а ее значение определяется формулой Ньютона:

,

(5.9)

где  – динамический коэффициент вязкости; знак "минус" указывает, что направление силы вязкости противоположно направлению течения жидкости; – градиент скорости (в направлении, перпендикулярном к движущимся слоям); S – площадь соприкасающихся слоев жидкости.

Динамический коэффициент вязкости определяется из (5.9) очевидным образом: динамический коэффициент вязкости численно равен силе вязкости, возникающей при единичном градиенте скорости при единичной площади соприкасающихся слоев (S=1 м²). Размерность динамического коэффициента вязкости []=ML^-1T^-1.

Поскольку в значительном числе случаев течение жидкостей происходит под действием силы тяжести, оказывается удобным для характеристики вязкости использовать величину /, где  – плотность жидкости. Величина  называется кинематическим коэффициентом вязкости и имеет размерность [=L2T^-1.

Рассмотрим два случая ламинарного течения вязкой жидкости.

1. Течение вязкой жидкости по цилиндрической трубе.

Скорость течения жидкости на стенках трубы равна нулю, а по мере удаления от них возрастает и становится максимальной на оси трубы. Нетрудно показать, что распределение скоростей по сечению носит параболический характер. Несложные расчеты приводят к следующему выражению для объема жидкости, протекшего через трубу за время t:

,

(5.10)

где P – перепад статических давлений на входе и выходе из трубы; r и L – соответственно радиус и длина трубы.

Формула (5.10) носит название формулы Пуазейля.

2. Ламинарное обтекание жидкостью движущегося твердого шарика.

При движении в жидкости твердого шарика слои жидкости, непосредственно прилегающие к его поверхности, движутся с той же скоростью, что и шарик, а далее (в глубь жидкости) их движение быстро затухает. При этом на шар действует сила сопротивления

,

(5.11)

где v – скорость шарика; r – его радиус. Формула (5.11) носит название формулы Стокса.

Рассмотренные выше случаи ламинарного течения жидкости используются для экспериментального определения коэффициента вязкости.

При постепенном возрастании скорости течения жидкости можно заметить, что, начиная с некоторого ее значения, характер течения существенно изменяется – в потоке жидкости образуются вихри, слои жидкости перемешиваются между собой и силы сопротивления резко возрастают. Критерием, определяющим переход от ламинарного режима течения к турбулентному, является безразмерная величина Re, называемая числом Рейнольдса (1883 г.):

,

(5.12)

где l – характерный линейный размер (диаметр трубы или радиус шара).

Переход от ламинарного течения в турбулентное происходит при некотором критическом значении числа Рейнольдса Re_кр. Величина Re_кр зависит от ряда факторов и равна примерно Re_кр =210³, т.е. при Re < 2000 течение ламинарное, а при Re > 2000 – турбулентное.

Следует отметить особое значение числа Рейнольдса при испытаниях моделей морских судов. Результаты таких испытаний сравнимы с натурными, если числа Рейнольдса совпадают, что возможно, если при уменьшении линейных размеров соответственно увеличивать скорость перемещения модели (см. формулу (5.12)).

Рис. 5.6.

Рассмотрим теперь обтекание жидкостью твердого тела (например, шарика – рис. 5.6). В этом случае в хвостовой части тела происходит отрыв слоев жидкости от его поверхности, что приводит к интенсивному вихреобразованию и соответственно к возрастанию скорости движения жидкости. Увеличение скорости движения приводит к возрастанию гидродинамического давления и, в соответствии с уравнением Бернулли (5.8), к падению статистического давления в этой области. В результате возникает дополнительная сила, препятствующая перемещению тела в жидкости:

.

(5.13)

где C – коэффициент лобового сопротивления, значение которого зависит от формы тела; S – площадь максимального поперечного сечения в направлении, нормальном к вектору скорости v.В общем случае результирующая сила сопротивления складывается из силы вязкого сопротивления и силы, обусловленной вихреобразованием в кормовой части движущегося тела. Поскольку последняя квадратично растет с увеличением скорости, ее вклад в суммарную силу будет преобладающим. Однако не следует пренебрегать и силой вязкого сопротивления – для современных судов в зависимости от чистоты судового корпуса она может составлять 10-20% общей силы сопротивления.