Тема. Краевые задачи и реологические модели сред при омд.

Исследование процессов, протекающих в сплошной среде – расчет температурных полей, напряжений и деформаций, анализ условий разрушения, - приводит к необходимости изучения соответствующих физических полей. В условиях стационарного процесса эти поля остаются неизменными во времени, для нестационарных процессов изменяются во времени, отражая влияние различных факторов. Решение конкретной задачи сводится к анализу распределения соответствующих переменных (температур, напряжений, деформаций и т.д.) во времени и в пространстве. Если задача поставлена правильно, то ее условия должны включать полный набор исходных данных для того, чтобы решение существовало, было единственным, а неизбежная погрешность этих данных мало влияла на точность решения. Это означает, что задача должна быть поставлена корректно.

Изученные кинематические зависимости и определяющие уравнения представляют собой математическую модель внутреннего механизма изучаемых процессов. Они не описывают условий взаимодействия тела с окружающей средой, его начального состояния. В связи с этим необходимо дополнительно рассмотреть совокупность данных, определяющих начальное состояние тела (начальные условия) и описывающих влияние окружающей среды на протекающие в теле процессы (граничные условия). Вместе они образуют условия единственности решения рассматриваемой задачи, объединяясь в понятие краевых условий. При этом имеются в виду «края» той пространственно-временной области, в пределах которой происходит исследуемый процесс.

ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Краевая задача должна удовлетворять следующим основным требованиям:

1. Решение должно существовать.

2. Решение должно определяться однозначно (единственность решения).

Решение должно непрерывно зависеть от данных задач (устойчивость).

Задачи теории пластичности применительно к ОМД являются краевыми залачами.

Поставить краевую задачу – значит правильно выбрать:

1. соответствующую ей замкнутую систему уравнений;

2. сформулировать начальные и граничные условия на поверхности тела.

Решить краевую задачу – значит по заданным условия на поверхности тела (усилим или перемещениям) определить:

● поле напряжений;

● поле деформаций;

● поле перемещений в деформированном объеме, т.е. найти

σ_х = σ_х (х,y,z ) ; σ_y = σ_y (х,y,z ); σ_z = σ_z (х,y,z );

τ_xy = τ_xy (x, y, z); τ_xz = τ_xz (x, y, z); τ_уz = τ_уz (x, y, z);

ε_х = ε_х (x, y, z ); (x, y, z ); ε_у (x, y, z ); = ε_z (x, y, z ); ….;

γ_xy = γ_xy ( x, y, z ); γ_уz = (x, y, z ): γ_xz = (x, y, z ).

Таким образом, в результате решения задачи математической пластичности применительно к процессам ОМД необходимо получить аналитические методы расчета:

1. Требуемых энергосиловых параметров изучаемого процесса ОМД;

2. Изменение размеров и формы тела в результате пластического деформирования;

3. Напряжений и деформаций в каждой точке деформируемого тела.

Краевая задача должна удовлетворять следующим основным требованиям:

1 Решение должно существовать. Это означает, что ограничения, накладываемые на решения не должны быть противоречивыми.

2 Решение должно быть единственным. Неоднозначность или неопределенность должны быть исключены.

3 Решение должно быть устойчивым относительно малых изменений краевых условий, т.е изменяться сколь угодно мало , если достаточно мало изменены условия.

Краевые условия представляют собой модель начального состояния тела и его взаимодействия с окружающей средой в процессе деформации. Поэтому при задании краевых условий неизбежны погрешости, но эти погрешности в определении напряженно-деформированного состояния в решении краевой задачи должны быть того же порядка. Задача, удовлетворяющая всем этим требованиям называется корректно поставленной задачей. Корректность задачи обеспечивается необходимым числом краевых условий и правильной формулировкой, а также рядом ограничений, накладываемых на вид функций, входящих в замкнутую систему уравнений и краевые условия.

Связь между σ и έ непосредственно связана с природой металла (σ_s) и его свойствами (σ_s). Созданием общей теории деформирования (течения) металла занимается реология – наука о поведении металла под нагрузкой с учетом их упругих, пластических и вязких свойств. Сами физические уравнения

σ = Φ (ε ) являются реологическими моделями.

В математической теории пластичности зависимость σ_s от многочисленных физических факторов выражают уравнением состояния деформируемой среды или уравнениями связи напряженного и деформированного состояний σ = Φ (ε ). Для упрощения расчетов используют несколько моделей сред и соответственно несколько уравнений состояния (рис.)

ПРОСТЕЙШИЕ РЕОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ.

При ОМД всегда отмечают следующие фундаментальные свойства деформируемого материала: упругость, вязкость и пластичность. Осо­бенности поведения сплошной среды под действием приложенной нагрузки могут быть иллюстрированы комбинацией этих фундаментальных свойств.

Описание поведения реального металла при ОМД производят с помощью простых реологических моделей, описывающие поведение идеализированных сред, изоб­ражая их условно механическими элементами.

По-прежнему будем рассматривать линейное напряженное со­стояние (растяжения стержня). Обозначим σ — соответствующее напряжение, ε — относительное удлинение, ζ = dε/dt— скорость относительного удлинения.

Модель линейно-упругой среды, подчиняющейся закону Гука:

σ = Еε, (1.1)

Проф. Гун Г.Я. условно изображает поведение металла такой среды в виде пружины (рис. 3).

Рис. 3 Реологическая модель ли- Рис. 4. Модель линейно - нейно-упругой среды вязкой среды

Модель линейно-вязкой среды, следующей закону вязкости Ньютона:

σ = μ( dε /dt ) (2)

может быть представлена в виде поршня, перемещающегося в ци­линдре, наполненном вязкой жидкостью. При этом жидкость вы­текает через зазор между стенкой цилиндра и поршнем (рис. 3), При построении модели жестко-пластической среды будем предполагать, что при напряжениях ниже предела текучести де­формации отсутствуют.

Пластическое течение имеет место при напряжении, удовлетворяющем условию текучести

σ = σ_s. (3)

Представим эту модель в виде груза, покоящегося на плоскости (элемент сухого трения; рис. 4, а).

Перейдем к рассмотрению простейших комбинированных мо­делей. Соединим последовательно упругий и пластический эле­менты (рис. 4, б). В результате получим модель упруго-пластической среды. Диаграмма σ—ε для этой среды показана на рис. 4, б. Общая деформация при этом состоит из двух частей: упругой ε^е и пластической ε^р :

ε = ε^е + ε^р ( 4 )

При снятии нагрузки упругая деформация исчезает, остается пла­стическая деформация. На рис.3, в, г представлены диаграммы σ - ε для жестко-пластической и упруго-пластической линейно упрочняющейся среды:

dε / dt = 1/E ( dσ/dt + σ/μ ) ( 5 )

Это уравнение соответствует модели упруго-вязкой среды Максвелла. Рассмотрим некоторые свойства этой среды. Пусть напряжения постоянны

( σ= const). Тогда dσ/dt = 0, и материал течет подобно вязкой жидкости.

Рис. 4. Модели пластических сред:

а — жестко-идеально-пластическая среда; б — упруго-идеально-пластическая среда; в— жестко-пластическая линейно-упрочняющаяся среда; г — упруго-пластическая линейно-упрочняющаяся среда

Модель среды Максвелла позволяет описать важное свойство реальных тел, заключающееся в падении по экспо­ненциальному закону напряжений при неизменной деформации (так называемая релаксация напряжений).

При соединении упругого и вязкого элементов получают модель упруго-вязкой среды Фойгта (рис.6). Очевидно, напряжение σ есть сумма упругой σ^е — Еε и вязкой σ^v = μ(dε / dt )

составляющих:

 = Е + (d/dt) (6.)

В отличие от выражения (5) уравнение (6) не описывает процесса релаксации, так как при  = const напряжение также остается постоянным, а среда ведет себя как упругая.

Рис. 5. Упруго-вязкая среда Максвелла Рис. 6. Упруго-вязкая среда Фойгта

Если напряжение σ остается постоянным, то деформация постепенно нарастает по закону

σ = σ / E {1 – exp [ -- E / μ)t ] }

стремясь к значению σ / Е, т. е. возникает ползучесть.

При последовательном соединении двух элементов вязких и пластических свойств среды получают модель вязко-пластической среды. Она обладает свойствами линейно-вязкой среды при σ < σ_s и течет подобно идеально пластическому телу при σ = σ _s.

Параллельное соединение вязкого и пластического элементов также дает вязко-пластическую среду (среда Шведова—Бингема). Поведение среды описывается уравнением

 = _s + (d/dt) при   _s

при  < _s деформация отсутствует.