3. Число елементів скінченного поля
Поля грають важливу роль в теорії скінченних полів, оскільки кожне поле характеристики повинно містити ізоморфне підполе і тому може розглядатися як розширення поля .
Розглянемо питання про число елементів скінченного поля.
Лема 1. Нехай – скінченне поле, що містить підполе з елементів. Тоді складається з елементів, де – степінь поля над , тобто розмірність векторного простору над полем .
Теорема. Нехай – скінченне поле. Тоді воно складається з елементів, де просте число, що є характеристикою поля , а – натуральне число, що є степенем поля над його простим підполем.
Доведення. Оскільки поле скінченне, то його характеристика є деяке просте число . Тому просте підполе поля ізоморфне і, значить, містить елементів і, отже, згідно лемі 1, поле містить елементів. □
Лема 2. Якщо – скінченне поле з елементів, то кожний елемент задовольняє рівності .
Означення. Поле називається полем розкладання многочлена над полем , якщо і над полем многочлен розкладається на лінійні множники.
Лема 3. Якщо – скінченне поле з елементів і – підполе поля , то многочлен з кільця цілком розкладається в наступним чином:
, ,
отже є полем розкладання многочлена над полем .
На основі представлених лем можна сформулювати головну характеризаційну теорему скінченних полів.
Теорема (про існування і єдиність скінченних полів). Для кожного простого числа і кожного натурального числа існує скінченне поле з елементів. Будь-яке скінченне поле з елементів ізоморфне полю розкладання многочлена над полем .
Ця теорема дозволяє ввести в розгляд, тобто побудувати конкретне скінченне поле Галуа порядку , що містить елементів, де – це степінь простого числа , яке є характеристикою цього поля. Поля цього типу позначають або .
Приклад 6. Елементами поля Галуа є двійкові послідовності довжиною бітів.
Позначимо через мультиплікативну групу ненульових елементів. скінченного поля . Наступна теорема встановлює важливу властивість такої групи.
Теорема. Мультиплікативна група поля циклічна.
Означення. Твірний елемент циклічної групи називається примітивним елементом поля .
4. Примітивні елементи скінченного поля
Примітивним елементом поля називається такий елемент , що всі ненульові елементи поля можна зобразити у вигляді степеня елемента .
Приклад 7. 1) Всі ненульові елементи поля зображені у вигляді степенів елемента .
2) Примітивним елементом скінченного поля є 2, тому що
, , , .
Примітивні елементи скінченного поля за простим розглядалися раніше в теорії чисел під назвою первісних коренів за модулем .
Означення. Порядком елемента скінченного поля називається найменше натуральне число з умовою . Позначається .
Якщо – елемент порядку мультиплікативної групи поля , то
-
;
-
є дільником числа ;
-
або .
Зауваження. Якщо – просте число, то елемент поля можна розглядати як клас лишків кільця цілих чисел за простим модулем , представником якого є елемент . Тоді умова рівносильна умові , через що порядок будь-якого елемента мультиплікативної групи поля дорівнює показнику, якому належить ціле число за простим модулем .
Приклад 8. Визначити порядки елементів скінченого поля .
Розв’язання. Порядок елемента поля є дільником числа , тобто прядки елементів містяться серед чисел 1,2,3,6.
Для елемента 2:
, , ,
отже .
Для елемента 3:
, , ,
, ,
отже .
Для елемента 4:
, , ,
отже .
Для елемента 5:
, , ,
, ,
отже .
Для елемента 6:
, ,
отже .
Для будь-якого ненульового елемента порядку з поля виконуються наступні твердження:
-
Якщо , то , .
-
Елементи поля всі різні.
-
Елементи поля являють собою всі корені многочлена .
-
Порядок елемента , , дорівнює ( – НСД чисел і ). Зокрема, якщо , то .
-
Число всіх елементів поля , порядок яких збігається з порядком елемента , дорівнює значенню функції Ейлера .
Важливі властивості мультиплікативної групи поля сформулюємо у вигляді наступних теорем.
Теорема. Якщо – ненульові елементи поля , то
.
Доведення. Нехай – довільний елемент мультиплікативної групи поля , – порядок цього елемента. Тоді за теоремою Лагранжа (Порядок скінченої групи ділиться на порядок кожної своєї підгрупи) ділить число , тобто . Отже, і дійсно є коренем многочлена .□
Теорема (про мультиплікативну групу поля ). Мультиплікативна група ненульових елементів поля є циклічною.
Доведення. Розглянемо випадок . Порядок групи дорівнює . Якщо число розкладено на прості множники , то для кожного , у полі многочлен має не більше коренів. А оскільки , то у полі існують ненульові елементи, які не є коренями цього многочлена. Нехай – саме такий елемент поля. Покладемо . В такому разі , а тому порядок елемента є дільником числа і через це має вигляд , де . З іншого боку і порядок елемента дорівнює .
Покажемо тепер, що елемент має порядок . Припустимо супротивне. Нехай додатково порядок елемента – власний дільник числа , а значить, і дільник принаймні одного з цілих чисел ,. Тоді
.
Тепер, якщо , то ділить число . Звідси , тобто порядок елемента повинен ділити число , що неможливо, оскільки він дорівнює .
Отже, – циклічна група з твірним елементом .□
Теорема (про примітивний елемент поля ). В кожному полі Галуа існує примітивний елемент.
Доведення. Оскільки всі ненульові елементи поля Галуа утворюють циклічну групу , то серед них існує елемент порядку , який є примітивним. □
З останньої теореми випливає, що примітивним елементом поля є твірний елемент циклічної групи .