- •Глава 3. Аналитическая геометрия на плоскости.
- •Тема 1. Уравнение линии на плоскости.
- •Тема 2. Геометрические задачи на прямую на плоскости.
- •Тема 3. Кривые 2-го порядка
- •Глава 4. Аналитическая геометрия в пространстве.
- •Тема 1. Уравнения линий и поверхностей в пространстве.
- •Тема 2. Прямая и плоскость в пространстве.
- •Тема 3. Поверхности 2-го порядка.
- •Глава 3. Аналитическая геометрия на плоскости
- •Тема 1. Уравнение линии на плоскости.
- •Тема 2. Геометрические задачи на прямую на плоскости.
- •Тема 3. Кривые 2-го порядка
- •Глава 4. Аналитическая геометрия в пространстве.
- •Тема 1. Уравнения линий и поверхностей в пространстве.
- •Тема 2. Прямая и плоскость в пространстве.
- •Тема 3. Поверхности 2-го порядка.
Тема 3. Поверхности 2-го порядка.
. Установить, какие поверхности задаются следующими уравнениями 2-го порядка в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве. Изобразить схематически эти поверхности.
1. x2 y2 z2 = 1 2. = 1 3. = 1 4. y2 z2 = 4
5. x = 6. = x2 7. = 1 8. y =
9. = 1 10. = z2 11. = 0 12. y = x2 z2
. Найти сечения поверхностей 2-го порядка указанными плоскостями; определить параметры полученных линий.
1. = 1 а) x = 2; б) y = 0; в) z = 3
2. = 1 а) x = 0; б) y = 1; в) z = 5
3. x = а) x = -1; б) y = 3; в) z = 0
4. y = x2 z2 а) x = 3; б) y = 0; в) z = 2
5. = x2 а) x = 1; б) y = -5; в) z = -1
6. = 0 а) x = 0; б) y = 2; в) z = 1
7. = 1 а) x = 5; б) y = 0; в) z = -1
8. y2 z2 = 4 а) x = 1; б) y = 2; в) z = 1
.
1. Найти точки пересечения поверхности с прямой L:
а) : = 1, L: = = б) : = 1, L: = =
2. Найти точки пересечения поверхности с прямой L:
а) : y2 = -1, L: x3 = y 1 = б) : = 1, L: = =
3. Составить уравнение цилиндрической поверхности, описанной около сферы
(x a)2 y2 z2 = a2 с осью, параллельной: а) оси OX; б) оси OY; в) оси OZ.
4. Составить уравнение цилиндрической поверхности с образующей и направляющей L:
а) {1; 2; 3}, L: б) {1; 1; 1}, L:
5. Найти угол между образующей и осью конуса: x2 y2 = 0
6. Составить уравнение конуса, если заданы вершина M0 и направляющая L:
а) M0(0; -1; 0), L: б) M0(0; 0; c), L:
7. Составить уравнение поверхности, образованной вращением кривой
вокруг оси: а) OZ; б) OX.
8. Составить уравнение поверхности, образованной вращением прямой
вокруг оси: а) OY; б) OZ.
О Т В Е Т Ы
Глава 3. Аналитическая геометрия на плоскости
Тема 1. Уравнение линии на плоскости.
.
y
y
1. 2.
x
x
1
-1
1
-1
y
y
3. 4.
x
x
3
-2
3
-2
y
y
5. 6.
2
x
-1
x
3
1
y
y
7. 8.
2
1
x
x
1
1
-1
-1
2
-1
y
y
9. 10.
x
1
1
x
1
-1
1
-1
-1
-1
1
y
11. 12.
y
x
x
-1
1
-1
y
13. 14.
x
y
1
-1
x
-2
-1
y
15. 16.
x
y
1
1
-1
-1
1
x
-1
-1
.
y
1. 2.
x
y
1
1
2
-1
x
-3
-1
3. 4.
x
8
y
1
y
1
x
4
1
1
5. 6.
y
y
1
1
x
x
1
-2
-1
7. 8.
8
y
y
4
x
-1
1
-2
x
2
1
1
9. 10.
y
4
y
1
1
x
x
8
2
1
.
y
1.
M
4
а) {1; 2}, M(-2; 4); 1(x + 2) + 2(y - 4) = 0 x + 2y - 6 = 0
x
1
2
-2
6
y
3
б) {-1; 3}, M(2; 1); -1(x - 2) + 3(y - 1) = 0 x - 3y + 1 = 0
x
M
1
2
-1
y
в) {2; -1}, M(-3; 2); 2(x + 3) - 1(y - 2) = 0 2x - y + 8 = 0
M
2
2
-4
x
-3
-1
y
г) {1; 0}, M(-3; -2); 1(x + 3) + 0(y + 2) = 0 x + 3 = 0
-3
x
M
1
-2
y
M
2.
5
а) {1; 2}, M(-3; 5); = 2x - y + 11 = 0
x
1
2
-3
-5,5
y
7
3
б) {-1; 3}, M(2; 1); = 3x + y - 7 = 0
x
M
1
2
-1
y
5
в) {1; -2}, M(3; -1); = 2x + y - 5 = 0
x
3
1
M
-1
-2
y
г) {1; 0}, M(-3; -2); = y + 2 = 0
-3
x
1
-2
M
3.
y
M
5
а) {1; -2}, M(3; 5); 2x + y - 11 = 0
1
5,5
x
3
-2
y
3
б) {-1; 3}, M(-2; 1); 3x + y + 5 = 0
x
M
1
-2
-1
-5
y
3
в) {2; 3}, M(1; -1); 3x -2y - 5 = 0
x
2
1
M
-1
-2,5
y
г) {0; 1}, M(-3; 2); x + 3 = 0
M
1
-3
2
x
4.
y
M2
5
а) M1(1; 2), M2(-3; 5); = 3x + 4y - 11 = 0
2
M1
x
1
-3
y
3
M1
б) M1(-1; 3), M2(2; -4); = 7x + 3y - 2 = 0
x
2
-1
M2
-4
y
в) M1(1; -2), M2(1; 2); = x -1 = 0
x
M2
1
2
-2
M1
y
-1
1
M2
г) M1(-1; -2), M2(3; 1); = 3x - 4y - 5 = 0
x
M1
3
-2
5.
y
а) a = 4, b = 3; + = 1 3x + 4y - 12 = 0
3
x
4
y
б) a = -3, b = 2; + = 1 2x - 3y + 6 = 0
x
2
-3
y
в) a = 1, b = - 4; + = 1 4x - y - 4 = 0
x
1
-4
y
г) a = -2, b = -3; + = 1 3x + 2y + 6 = 0
x
-2
-3
6.
y
а) = , p = 4; xcos + ysin 4 = 0 x + y - 8 = 0
4
x
8
y
3
б) = , p = 3; xcos + ysin 3 = 0 x + y - 3 = 0
x
3
3
y
4
в) = , p = 2; xcos + ysin 2 = 0 x - y + 4 = 0
x
2
y
г) = - , p = ; xcos + ysin = 0
x
x + y + 2 = 0
-2
y
7.
M
а) = , M(-3; 5); y - 5 = tg (x + 3)
5
x - y + 5 + 3 = 0
x
-3
y
б) = , M(1; -2); y + 2 = tg (x - 1) x + y + 1 = 0
x
1
-2
M
y
в) = , M(2; 1); y - 1 = tg (x - 2) x - y + 1 - 2 = 0
x
1
M
2
3
y
г) = , M(0; 3); y - 3 = tg (x - 0) x - y + 3 = 0
M
x
y
8.
а) y0 = 1 y - 1 = 0
1
x
y
б) x0 = 4 x - 4 = 0
x
4
y
в) x0 = -3 x + 3 = 0
-3
y
г) y0 = -2 y + 2 = 0
x
-2
.
1. [AB]: 3x + 4y + 2 = 0, [AC]: 3x - 4y + 10 = 0, [BC]: x - 4y + 22 = 0,
[mA]: 9x - 4y + 22 = 0, [hA]: 4x + y + 7 = 0, [lA]: x + 2 = 0.
2. [AB]: 4x - 3y - 6 = 0, [AC]: 12x + 5y - 46 = 0, [BC]: 8x + y - 54 = 0,
[mA]: x + y - 5 = 0, [hA]: x - 8y + 13 = 0, [lA]: x + 8y - 19 = 0.
3. [AB]: 3x - 4y + 13 = 0, [AC]: 12x + 5y + 31 = 0, [BC]: 6x - y - 23 = 0,
[mA]: 6x + 13y + 5 = 0, [hA]: x + 6y - 3 = 0, [lA]: 3x + 11y - 2 = 0.
4. [AB]: 4x - 3y + 6 = 0, [AC]: 3x - 4y - 6 = 0, [BC]: 5x - 2y + 4 = 0,
[mA]: 11x - 10y + 6 = 0, [hA]: 2x + 5y + 42 = 0, [lA]: x - y = 0.
5. [AB]: x - y = 0, [AC]: x - 7y = 0, [BC]: x + 5y - 12 = 0,
[mA]: x - 3y = 0, [hA]: 5x - y = 0, [lA]: x - 2y = 0.
6. [AB]: x + 2y + 4 = 0, [AC]: 2x - 11y - 7 = 0, [BC]: 4x - 7y - 29 = 0,
[mA]: y + 1 = 0, [hA]: 7x + 4y + 18 = 0, [lA]: x + 7y + 9 = 0.