ТЕМА 3

Оптимальное Проектирование ПМ.

Рычажные ПМ.

3.1. Модель нелинейной фп пм.

Пусть в общем случае ФП ПМ является теоретически нелинейной.

Напомним, что при конструировании механизма часто применяют более простую схему, приближенно воспроизводя­щую заданный (требуемый) закон движения – при этом возникает теоретическая нелинейность - погрешность схемы _CX.

1)Требуемая Номинальная ФП – линейная функция в диапазоне преобразования Dх по входу (и Dу по выходу).

2) Номинальная Чувствительность

k = dy/dx = y/x = Dy/Dx –

постоянная по всему диапазону.

3) Функция преобразования (ФП) теоретического заменяющего механизма f _теор. – нелинейная, имеет точку перегиба.

Такие f _теор. характерны для рычажных ПМ.

Выражения для f _теор. содержат тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Аналитические исследования таких ФП весьма громоздкие и сложные. (Компьютерные методы значительно упростили проблему.)

Введем простое и универсальное описание нелинейной теоретической функции преобразовании механизма, которая является типичной для целого класса механизмов.

Dх и Dy диапазоны перемещения входного и выходного звеньев.

Известно, что функция у=f_теор(x) может быть представлена в виде разложения в точке в ряда Тейлора (степенного ряда). Такое разложение ФП _теор. в точке перегиба имеет вид:

Перенесем начало новой системы координат в точку (,)- середина диапазона и точка перегиба ФП. Переход к новой С.К. :

Тогда получим

Здесь надо отметить следующее:

• первое слагаемое ряда – линейная составляющая f_теор(x)- прямая касательная к f_теор(x) в точке перегиба;

• остальные члены ряда – характеризуют отклонение ФП от линейной функции – 2-го ,3, 4, 5, и т.д. порядков

• чем выше порядок производной, тем меньше значимость члена ряда ;

• если ФП _теор нечетная функция с точкой перегиба в середине исследуемого диапазона Дх, то производные четных степеней (2-й,4,6,…) тождественно равны нулю:

• 

Т.о., отбросив все члены ряда, кроме первых двух, получим выражение для модели ФП_теор:

Обозначим коэф-ты при х как параметр чувствительности ζ и параметр нелинейности ξ функции преобразования:

-(дзета)

-(кси)

Модель теоретической ФП:

Схемные Параметры  и  вычисляются как производные от ФП и поэтому зависят от одних и тех же параметров (размеров звеньев) ПМ, а значит, зависят друг от друга:

 = ₁() и  = ₂().

3.2. Задача синтеза ПМ по критерию минимума погрешности схемы _CX .

Формулировка задачи: Требуется спроектировать передаточный механизм, который в некотором заданном диапазоне Dx, обладал бы чувствительностью k, а расхождение между требуемой (номинальной) функцией преобразования и расчетной (теоретической нелинейной) функцией преобразования, было бы минимальным и не превышало бы некоторого заданного допустимого значения .

.

Графическая интерпретация задачи на рисунке – необходимо вписать f_Теор в поле допуска, определенного границами  [] вокруг f _Ном, так чтобы уклонение f_Теор от f _Ном было бы минимальным.

Решение этой задачи синтеза проводят в два этапа :

1.выбираем схему теоретического заменяющего механизма, обеспечивающего преобразование движений в требуемом диапазоне Dx (и Dy) и функция преобразования которого не выходит за границы  []. (это структурный синтез ПМ – выбор схемы механизма).

2. определяем (вычисляем) схемные параметры ПМ ,  а, следовательно, и размеры звеньев ПМ, обеспечивающие наилучшее приближение теоретической ФП к номинальной ФП. (этап оптимизации параметров ПМ по заданному критерию)…