Глава 4. Моделирование на основе
физической теории подобия и метода анализа размерностей
В основе физического моделирования лежит теория подобия – учение о методах постановки и научного обобщения результатов исследования на моделях для описания всех подобных явлений, протекающих в реальных системах.
В практике моделирования наиболее желательным может представляться теоретический путь изучения явлений, который заключается в составлении на основе самых общих законов физики и химии математических зависимостей (чаще всего дифференциальных уравнений), описывающих процесс и их решение. Дифференциальные уравнения могут описывать большое количество однородных по своему существу явлений. Поэтому чтобы перейти к конкретным условиям, нужно дифференциальные уравнения ограничивать дополнительными условиями, т.е. вводить условия однозначности. Условия однозначности включают: геометрическую форму и размеры аппаратуры; физические константы веществ, участвующих в процессе; начальные условия (температура, давление, начальная концентрация и др.); граничные условия (направление, скорость течения жидкости у стенок) и т.д.
Многие процессы так сложны, что даже, если удается составить описывающие их дифференциальные уравнения, не всегда удается установить условия однозначности, а иногда даже нельзя установить систему дифференциальных уравнений. В таких случаях прибегают к экспериментальному исследованию. Получают частные эмпирические уравнения, которые используют в инженерной практике. Важно уметь обобщать опытные данные и распространять их на более широкий круг явлений, подобных изученному, например, при увеличении размеров аппарата, изменении основных физических свойств среды и др. Это достигается с помощью теории подобия.
4.1 Условия и виды подобия
4.1.1 Условия подобия
Основным принципом теории подобия является выделение из множества систем и явлений группы подобных систем и явлений. Подобными называются системы, для которых постоянны отношения характеризующих их сходственных величин. Например, сходственными величинами, характеризующими геометрические формы, являются длины их сторон, углы между ними.
При подобии физических процессов должны быть подобны все основные физические величины, влияющие на процесс. Эти величины изменяются при протекании процессов, т.е. во времени и в различных точках аппаратов, т.е. в пространстве. Поэтому системы, в которых протекают рассматриваемые процессы, подобны при условии совместного соблюдения различных видов подобия: геометрического, временного, а также подобия физических величин, начальных и граничных условий и т. д.
Любой
вид подобия характеризуется
константами и
инвариантами подобия: Const
– K
и inv
или idem
– i
(инвариантно или “одно и то же”). Эти
величины пишут с индексами, показывающими
вид подобия: Kl,
il
–геометрического,
,
– подобия скоростей,
i
– временного,
i
– подобия вязкости и т.д.
Константами подобия называют характеристики, выражающие отношение различных одноименных величин в объекте и модели; они постоянны для различных сходственных точек подобных систем, но изменяются в зависимости от соотношения размеров объекта и модели. Входящие в константу подобия одноименные величины могут взаимно заменяться, поэтому отношение приращений этих величин можно заменять отношением самих величин1.
Например:
(4.1)
Инвариантами подобия называются характеристики, показывающие отношение сходственных величин в пределах каждой системы.
Таким образом, константы подобия выражают отношения сходственных величин разных систем, а инварианты подобия – отношения сходственных величин одной и той же системы.
K и i – безразмерные величины.