26. Теорема о пределе монотонных функций.

Функция f, определенная на числовом множестве Е, называется монотонно возрастающей (убывающей) на Е, если для любых x1,x2 принадлежащих Е, таких, что x1<x2, выполняется неравенство f(x1)f(x2) f(x1)f(x2). Теорема. Если на интервале (a,b) функция монотонно возрастает, то в точках a и b у функции существуют конечные и бесконечные пределы и lim f(x)=sup f, lim f(x)=inf f Доказательство: Если M=sup f<+, то, по определению

(xb-o) (a,b) (xa+o) (a,b) точной верхней грани, для произвольного >0 существует

такое X(a,b), что M-<f(X)M. Положим =b-X. В силу монотонности f(X)f(X) для любого X>X, а в силу определения точной верхней грани функции f(x)M. Поэтому если b-<X<b, то M-<f(X)f(x)M, а это означает что lim f(x) = M

Если sup f=+, то для произвольного B существует такое Xb(a,b), что xb-o

f(Xb)>B. По монотонности f(X)f(X)>B для любого x(Xb,b), а это в силу произвольности B и означает что lim f(x) =+. Следствие: Монотонная на интервале функция f имеет в каждой

xb-o точке этого интервала конечный предел как справа, так и слева.

Действительно, пусть f монотонно возрастает на (a,b) и точка Xo(a,b), тогда f(X1)f(Xo)f(X2)

для производных X1(a,Xo) и X2(Xo,b). Отсюда sup f f(Xo)inf f и по доказанной теореме существуют конечные пределы lim f(X) и lim f(x). Аналогично для убывающей функции.

xx0-o xx0+o

34. Теорема о существовании верхней и нижней грани числового множества.

Если X C R , X≠Ǿ, при этом множество Х ограничено сверху (снизу). То во множестве всех верхних граней (нижних граней) множества Х существует минимальный элемент (максимальный элемент). Доказательство: А=Х(по определению) (множество называется ограниченным сверху если у него есть верхняя грань). В-множество всех верхних граней множества Х. ĂаЄА , . ĂbЄB => a<b.(Ă-квантор всеобщности). Согласно аксиоме непрерывности Eс: ab, ĂаЄА и ĂbЄB (E-квантор существования) SUP- минимальный элемент во множестве всех верхних граней Х. INF-максимальный элемент во множестве всех нижних граней Х. (supremum, infium)

Множество Х называется ограниченным сверху (снизу) если: хс ĂхЄХ (хс ĂхЄХ)

29.Фунция непрерывная на отрезке

Функция F называется непрерывной на отрезке [A,B], если она непрерывна во всех точках интервала(A,B), непрерывна справа в точке А и непрерывна с лева в точке В

Все установленные свойства непрерывности функции в точке переносится на непрерывность функции на отрезке. Заметим только, что если две функции F1(x) иF2(x) непрерывна на отрезке [A,B] ,то частное F1(x)\F2(x) есть непрерывная функция на этом отрезке при условии, что F2(x) нигде на отрезке [A,B] не обращается в нуль.

Пусть две системы интегралов {s} , такая что каждая точка отрезка [A,B] лежит внутри, по меньшей мере, одного из интегралов системы {s} ,тогда система {s} покрывает отрезок[A,B]

Лемма бореля

Если система {s}покрывает отрезок [A,B] , то из нее можно выбрать конечную систему интегралов, которая также покрывает отрезок [A,B].

Теорема об ограниченной непрерывной функции

ФункцияF , непрерывная на отрезке [A,B] , ограниченна на нем.

Доказательство

Пусть точка α- любая точка отрезка [A,B].так как F(x) непрерывна в точке α, то для ε=1 найдется интеграл γ α=( α-δ α, α+ δ α,) такой, что при Х γ α [A,B] выполняется неравенство ⃓F(x)-F(α)⃓<1. отсюда ⃓F(x)⃓ < ⃓F(α)⃓+1 такой интеграл γ α мы можем выбрать для любой точки α[A,B].таким образом мы имеем систему {s} интегралов, покрывающих отрезок [A,B]. по лемме бореля выбираем из {s} конечное число интегралов γ1, γ2, γ3, …γn , которое покрывает отрезок [A,B] . каждый интеграл соответствует числу αк  [A,B] .среди чисел F( α1), F( α2), …F( αn), выберем наибольшее число M=max_{1kN}{⃓F(αk)⃓} ,тогда ⃓F(x)⃓ м+1 .теореме доказана.