Рекомендації до розв’язання задач

1. Вибрати систему координат;

2. записати початкові умови руху точки;

3. зобразити на схемі задані сили і сили реакцій в’язей, прикладені до матеріальної точки;

1. скласти диференціальні рівняння руху матеріальної точки;

4. проінтегрувати систему диференціальних рівнянь руху невизначеним інтегралом.

5. з початкових умов руху, визначити постійні інтегрування;

7) скориставшись рівняннями руху матеріальної точки, отриманими в попередньому пункті, визначити шукані величини.

При складанні диференціальних рівнянь руху треба розглядати матеріальну точку у поточному положенні.

У випадку руху вільної матеріальної точки зручно користуватися системою осей декартових координат. При криволінійному русі невільної матеріальної точки простіше вирішувати завдання в проекціях на осі натурального триедра.

Приклад 1

Після отриманого зусилля цеглина почала сковзати з початковою швидкістю V₀ =2 м/с по нерухомій стрічці конвеєра, розташованій під кутом α =30⁰ до горизонту. Знайти шлях, який пройде цеглина за проміжок часу τ = 2 с, якщо коефіцієнт тертя цеглини по стрічці конвеєра дорівнює μ = 0,4.

Д ано:

V₀ =2 м/с, α =30⁰,

Τ = 2 с, μ = 0,4.

S-?

Рис. 34

Розв’язання

Покажемо на схемі цеглину у довільну мить руху вздовж осі х, яку напрямлено до низу. За початок осі х візьмемо початкове положення цеглини (рис. 34) і надалі будемо вважати її матеріальною точкою. Початкова швидкість напрямлена вздовж осі х униз. До цеглини, яка є невільною матеріальною точкою, прикладена одна активна сила – його вага . Використаємо аксіому визволення від в’язей, викинемо уявно стрічку конвеєра, а її дію на цеглину замінимо відповідною реакцією. Ця реакція має дві складові: нормальну складову , перпендикулярну до площини стрічки, і силу тертя ковзання цеглини по стрічці конвеєра, напрямлену у бік, протилежний руху, тобто вздовж стрічки конвеєра вгору.

Покажемо всі діючі на цеглину сили , і і запишемо диференціальне рівняння прямолінійного руху матеріальної точки в проекції на вісь х.

.

У нашому випадку одержимо:

.

За законом сухого тертя = μN = μPcosα і тому, після скорочення на Р маємо:

.

Але + 1,51 і тому маємо диференційне рівняння руху точки:

. (1)

Для інтегрування замінімо на і отже =1,52, або .

Після інтегрування невизначеним інтегралом маємо:

. (2)

Співвідношення (2) є першим інтегралом диференціального рівняння руху (2). Для визначення постійної інтегрування С₁ підставимо у рівняння (2) початкові умови руху (при t = 0 (0) =V₀). При t = t₀ = 0 рівняння (2) має вигляд V₀ = С₁. Одержане значення С₁ внесемо в рівняння (2) і одержимо:

. (3)

Для визначення закону руху цеглини замінимо в рівнянні (3) на . Після відділення змінних знаходимо:

dx - V₀dt + 1,52tdt.

Зинтегруємо невизначеним інтегралом і одержимо:

х= V₀ t + 1,52 +С_2. (4)

Сталу інтегрування С₂ знайдемо, якщо підставимо у рівняння (4) початкову умову руху (при t = 0, х = 0). При t = t₀ = 0 рівняння (4) має вигляд 0 = С₂. Одержане значення С₂ внесемо в рівняння (4) і будемо мати рівняння руху цеглини:

х= V₀t+ 0,76 t². (5)

Для визначення шуканого шляху S, за τ секунд, слід у рівняння руху (5) ввести t = τ. Тоді:

S = V₀τ+ 0,76 τ².

Але τ = 2 с, і тому S =7,02 м.

Відповідь: S =7,02 м.