- •1.Глава 9. Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
- •2.Полярная система координат.
- •3. Связь между декартовыми и полярными координатами
- •2Прямая на плоскости
- •1.Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •1. Нормальное уравнение плоскости
- •2. Уравнение плоскости в отрезках
- •3. Плоскость. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
- •4. Уравнение плоскости по трем точкам
- •5. Уравнение плоскости в векторной форме
- •6. Частные случаи общего уравнения плоскости:
- •6. Угол между прямой и плоскостью
- •7. Условие параллельности прямой и плоскости
Аналитичекая геометрия
1.
1.Глава 9. Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
Равенство вида F(x; y)=0 называется уравнением с двумя переменными x, y, если оно справедливо не для всяких пар чиселx, y. Говорят, что два числа , удовлетворяют некоторому уравнению вида F(x, y)=0, если при подстановке этих чисел вместо переменных x и y в уравнение его левая часть обращается в нуль.
Уравнением данной линии (в назначенной системе координат) называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на ней.
В дальнейшем вместо выражения «дано уравнение линии F(x; y)=0» мы часто будем говорить короче: «дана линия F(x; y)=0».
Если даны уравнения двух линий F(x,y)=0 и Ф(x, y)=0, то совместное решение системы F(x,y)=0, Ф(x, y)=0 дает все точки их пересечения. Точнее, каждая пара чисел, являющаяся совместным решением этой системы, определяет одну из точек пересечения.
2.Полярная система координат.
Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применениятригонометрических уравнений.
Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью.
Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус– вектором этой точки. Этот угол называетсяполярным углом.
|
|
|
Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох.
[an error occurred while processing this directive]
Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями:
x = rcos; y = rsin; x2 + y2 = r2
3. Связь между декартовыми и полярными координатами
Пару полярных координат r и можно перевести в Декартовы координаты x и y путём применения тригонометрических функцийсинуса и косинуса:
x = rcos φ,
y = rsin φ,
в то время как две декартовы координаты x и y могут быть переведены в полярную координату r:
r2 = y2 + x2 (по теореме Пифагора).
Для определения угловой координаты следует принять во внимание два следующие соображения:
-
Для , может быть произвольным действительным числом.
-
Для , чтобы получить уникальное значение , следует ограничиться интервалом в 2π. Обычно выбирают интервал или .
Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями (arctg обозначает обратную функцию к тангенсу):
Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями:[14]