6

Лабораторная работа 1.0

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ПЕРВИЧНЫХ СИГНАЛОВ ЭЛЕКТРОСВЯЗИ

1 Цель работы

Изучение процесса дискретизации непрерывных сигналов по временем и способа восстановления сигналов по их отсчётам. Анализ характеристик дискретных сигналов и факторов, которые вызовут погрешности при восстановлении сигналов.

2 Ключевые положения

2.1 Дискретизация непрерывных сигналов по времени. Под дискретизацией непрерывного по временем сигнала s(t) понимают представление сигнала его мгновенными значениями (отсчётами) s(kT_д), где k = …, –1, 0, 1, 2, …; T_д – интервал дискретизации. Последовательность отсчётов изображают вертикальными линиями высотой s(kT_д) (рис. 1) и называют ее дискретным сигналом s_д(t).

В реальных устройствах отсчет сигнала s(kT_д) – это импульс с амплитудой s(kT_д) и длительностью   T_д, начинающийся в момент времени kT_д. Но, обычно,  << T_д (рис. 2). Устройство, которое формирует отсчеты, называется дискретизатором. В случае  << T_д дискретизатор – это ключ, замыкающий цепь от источника к нагрузке на время  (рис. 3). Если  = T_д, то используют устройство выборки-хранения, которое состоит из ключа, замыкающегося на очень короткое время, и конденсатора, запоминающего значение отсчета на время до следующего отсчета.

А налитическое выражение дискретного сигнала s_д(t):

s_д(t) = s(t)(t) = s(t), (1)

где (t) – последовательность отсчетных импульсов, определяющих моменты времени, в которые берутся отсчёты сигнала, и длительность импульсов на выходе дискретизатора;

h(t) – отсчетный импульс:

h(t) = (2)

2.2 Спектр дискретного сигнала. Преобразование Фурье правой части выражения (1) определяет спектральную плотность S_д(j2f) дискретного сигнала (соответствующие математические выкладки можно найти в [1, с. 64–66])

S_д(j2f) = , –  < f < , (3)

где f_д = 1/ T_д – частота дискретизации;

a_n =  – (4)

коэффициенты разложения последовательности импульсов h(t) в ряд Фурье; поскольку  << T_д, то для малых значений n коэффициенты практически не зависят от n, то есть a_n = /Т_д;

S(j2f) – спектральная плотность непрерывного сигнала s(t).

Из (3) следует, что спектр дискретного сигнала – это сумма спектров S(j2f) непрерывного сигнала s(t), смещенных один относительно другого на величину f_д и убывающих с увеличением n в соответствии с выражением (4).

Для первичных сигналов электросвязи характерно, что их спектры примыкают к нулевой частоте. На рис. 4, а приведен амплитудный спектр произвольной формы S(f) первичного сигнала, который простирается до максимальной частоты F_max. Далее на рис. 4 изображены амплитудные спектры сигналов, которые могут иметь место при дискретизации сигнала со спектром, приведенным на рис. 4, а:

рис. 4, б – спектр S_(f) последовательности отсчетных импульсов (t), построенный на основе представления (t) рядом Фурье:

(t) = cos(2nf_дt);

рис. 4, в – спектр S_д(f) дискретного сигнала, если f_д > 2F_max;

рис. 4, г – спектр S_д(f), если f_д = 2F_max;

рис. 4, д – спектр S_д(f), если f_д < 2F_max.

2.3 Восстановление сигналов по их отсчётам. В соответствии с теоремой Котельникова (теоремой отсчётов) любой сигнал с ограниченным спектром можно точно восстановить (интерполировать) по его отсчётам, взятым через интервал T_д  1/(2F_max), где F_max – максимальная частота спектра сигнала.

В справедливости теоремы Котельникова легко убедиться, рассмотрев рис. 4, в, г, д. Если f_д  2 F_max (рис. 4 в, г), то после подачи дискретного сигнала ко входу идеального ФНЧ с частотой среза F_max  F_ср  f_д – F_max на выходе получим сигнал со спектром S(f) (рис. 4, в, г), то есть восстановленный непрерывный сигнал. На рисунках штриховыми линиями показаны АЧХ идеального ФНЧ с частотой среза F_ср = F_max. Если же f_д < 2F_max, то, как видно из рис. 4, д, невозможно выделить спектр S(f), поскольку имеет место перекрытие спектров.

Процесс восстановления непрерывного сигнала по его отсчётам можно трактовать и во временной области. Если для восстановления сигнала используется идеальный ФНЧ с частотой среза F_ср, то его импульсный отклик (без учета задержки в фильтре):

g(t) = .

Поскольку отсчетные импульсы короткие ( << T_д) (приближаются к -функции), то можно считать, что отклик ФНЧ на импульс с амплитудой s(kT_д), поданный в момент t = kT_д, имеет вид

s(k T_д) = .

Если подать ко входу ФНЧ сигнал s_д(t), на его выходе получим сумму откликов

= .

Сравним это выражение с рядом Котельникова, что есть математическим выражением теоремы Котельникова,

s(t) = .

Если F_ср  = F_max, то s(t) = (t), то есть имеет место точное восстановление непрерывного сигнала.