Основы молекулярно-кинетической теории

Задачи рассматриваемой темы можно условно разделить на следующие основные группы:

• задачи, в которых определяются и сравниваются размеры молекул и расстояния между ними;

• задачи, в которых определяются массы молекул, молярные массы вещества, количество вещества;

• задачи, в которых рассматриваются силы взаимодействия между молекулами.

Вычисление (точнее, оценку) линейных размеров обычно производят для молекул жидкостей. При этом, исходя из малой сжимаемости жидкостей, делают допущение, что молекулы, имеющие шарообразную форму, плотно упакованы и каждая молекула в жидкости занимает объем в виде куба, ребро которого равно линейному размеру молекулы. Пользуясь такой моделью, можно также определить соотношение объемов, занятых самими молекулами, и объемов, приходящихся на промежутки между ними. В эту группу включаются задачи по определению расстояния между частицами (постоянной решетки) в простейшей кубической структуре твердых тел. Здесь также решаются задачи, позволяющие по линейным размерам молекул определять некоторые физические постоянные (постоянная Лошмидта, объем моля газа при нормальных условиях, постоянная Авогадро).

Оценить линейные размеры молекул можно также в экспериментальных задачах, основанных на опытах с тонкими пленками, образующимися при растекании масла по поверхности воды.

При решении задач на нахождение масс молекул используют значение атомной единицы массы и относительную молярную массу вещества. Массу молекулы вычисляют по формуле т₀ = 1,66·10^–27M_r. Вычислить массу молекулы можно также по формуле т₀ =M/N_A.

ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ

Тепловое расширение тел (линейное расширение)

где α – температурный коэффициент линейного расширения, ΔT – изменение температуры.

Закон Дальтона

где p – давление смеси паров или газов.

Закон Бойля-Мариотта

,

при условии, что m = const и T = const;

где p – давление идеального газа, V – объем идеального газа, T – абсолютная температура идеального газа, m – масса идеального газа.

Закон Гей-Люссака

,

при условии, что m = const и V = const;

где p – давление идеального газа, V – объем идеального газа, T – абсолютная температура идеального газа, m – масса идеального газа.

Закон Шарля

,

при условии, что m = const и V = const;

где p – давление идеального газа, V – объем идеального газа, T – абсолютная температура идеального газа, m – масса идеального газа.

Уравнение Клапейрона

при условии, что m = const и V = const;

где p – давление идеального газа, V – объем идеального газа, T – абсолютная температура идеального газа, m – масса идеального газа.

Уравнение состояния идеального газа

(уравнение Клапейрона - Менделеева)

где p – давление идеального газа, V – объем идеального газа, T – абсолютная температура идеального газа, m – масса идеального газа, M – молярная масса, R – универсальная газовая постоянная.

Удельная теплоемкость вещества

где c – удельная теплоемкость вещества, Q – количество теплоты, m – масса вещества, ΔT – изменение температуры.

Удельная теплота парообразования

где L – удельная теплота парообразования, Q – количество теплоты, необходимое для превращения в пар жидкости массой m, находящейся при температуре кипения.

Удельная теплота плавления

где λ – удельная теплота плавления, Q – количество теплоты, необходимое для плавления твердого тела массой m, находящейся при температуре плавления.

Уравнение теплового баланса

где ΣQ_отд – количество теплоты, отдаваемое более нагретыми телами при теплообмене, ΣQ_получ – количество теплоты, получаемому более холодными.

Работа газа при изобарном процессе

где A – работа газа при изобарном процессе, p – давление идеального газа, V – объем идеального газа, T – абсолютная температура идеального газа, m – масса идеального газа, M – молярная масса, R – универсальная газовая постоянная.

Первое начало термодинамики

где Q – количество теплоты, полученной системой, ΔU – изменение внутренней энергии системы, A – работа, совершенная системой.

КПД тепловой машины

где η – КПД тепловой машины, A – полезная работа, совершенная рабочим телом, Q₁ – количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя, Q₂ – количество теплоты, отданное рабочим телом холодильнику.

КПД идеальной тепловой машины

где η_max – КПД идеальной тепловой машины, T₁ – температура нагревателя, T₂ – температура холодильника.

Удельная теплота сгорания топлива

где q – удельная теплота сгорания топлива, Q – количество теплоты, выделившейся при сгорании топлива, m – масса топлива.

Количество вещества

где ν – количество вещества, N – число молекул в веществе, N_A – постоянная Авогадро.

Масса молекулы вещества

где m₀ – масса молекулы вещества, m – масса вещества, N – число молекул в веществе, ν – количество вещества, N_A – постоянная Авогадро, M – молярная масса вещества.

Средняя квадратичная скорость молекул

,

где <υ_кв> – средняя квадратичная скорость, υ₁, υ₂, υ₃, … υ_N – скорость молекул, N – число молекул, k – постоянная Больцмана, T – температура тела, m₀ – масса молекулы, R – универсальная газовая постоянная, M – молярная масса.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

где p – давление идеального газа, n – концентрация газа, m₀ – масса молекулы, <υ²> – средняя квадратичная скорость, <E_к> – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул.

Связь между средней кинетической энергией поступательного движения молекул и температурой

где <E_к> – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул, k – постоянная Больцмана, T – температура тела.

Связь давления идеального газа и температуры

где p – давление идеального газа, n – концентрация, k – постоянная Больцмана, T – температура газа.

Относительная влажность воздуха

 ;

где φ – относительная влажность воздуха, p – давление водяного пара, p₀ – давлению насыщенного водяного пара при данной температуре, ρ – плотность водяного пара, ρ₀ – плотность насыщенного водяного пара при данной температуре.

Коэффициент поверхностного натяжения жидкости

 ;

где σ – коэффициент поверхностного натяжения, A – работа, необходимая для увеличения площади свободной поверхности жидкости на величину S, F_пов – сила поверхностного натяжения жидкости, действующей на границу раздела жидкости длиной l.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача. В баллоне вместимостью V = 3000 см³ находится воздух под давлением p₀ = 100 кПа. Сколько ходов поршневого насоса с камерой вместимостью V_к = 200 см², потребуется, чтобы откачать воздух из баллона до давления p = 4,53 кПа. Изменением температуры можно пренебречь.

Запишем краткое условие задачи

V = 3000 см³

p₀ = 100 кПа

V_к = 200 см²

p = 4,53 кПа

n - ?

В начальном состоянии, объем воздуха равен объему баллона V, а его давление p₀. При первом ходе поршня воздух заполняет камеру насоса и его объем становится равным V + V_К . Поскольку температура воздуха и его масса в ходе данного процесса не изменяются, то, согласно закона Бойля-Мариотта, p₀V = p₁(V + V_К ). Отсюда давление воздуха после первого хода поршня

Затем воздух из камеры насоса удаляется, и начинается второй цикл работы насоса. В этом цикле p₁ - начальное давление воздуха, конечное давление воздуха в этом цикле работы насоса обозначим p₂ . Снова применив закон Бойля-Мариотта получим: p₁V = p₂(V + V_К ).

.

Соответственно давление воздуха после третьего цикла работы поршня

.

После n-го хода поршня давление воздуха

.

Прологарифмировав это уравнение относительно n, получим, что

Ответ: n = 48.

Задача. Некоторая масса воздуха, занимавшая при температуре 27⁰С и давлении 2 атм объём 120 л, подверглась нагреванию. Найти температуру газа, если нагревание было: 1) Изохорическим, причём давление возросло на 0,56 атм: 2) изобарическим, причём объём газа увеличился до 150 л. Определить массу газа.

Дано: Т₁=300 К- начальная температура, р₁=2·1.013·10⁵ Па и р₂=2.56·1.013·10⁵ Па- начальное и конечное давления, V₁=120·10^-3 м³ и V₂=150·10^-3- начальный и конечный объём газа, μ=29·10^-3 кг/моль- молярная масса воздуха, R=8.314 Дж/(моль·К)- молярная газовая постоянная.

Найти: T₂- конечную температуру газа для обоих случае; m- массу газа.

Решение. Конечная температура Т₂ находится из уравнений для изохорического и изобарического процессов, в каждое из которых входят лишь два термодинамических параметра:

1. p₁/p₂=T₁/T₂ и

2. V₁/V₂=T₁/T₂.

Масса газа m определяется из уравнения Менделеева- Клапейрона:

pV=RT.

Представляя в уравнения числовые значения и вычисляя, находим:

1. 1)T₂=·300 K= 384 K;

2)T₂=·300 K= 375 K.

m=

Ответ. Конечная температура газа при изохорическом процессе равна 111⁰С, при изобарическом процессе- 102⁰С. Масса газа равна0,283 кг.

Задача. Объем цилиндра поршневого насоса 0,50 л. Насос соединен с баллонам емкостью 3,0 л., содержащем воздух при нормальном атмосферном давлении. Найти давление воздуха в баллоне 5 рабочих ходов поршня случаях режимов работы: 1) нагнетательного; 2) разрежающего.

Дано: V₁=0,50 л. = 0,50·10^-3м³ – объем цилиндра насоса, V₂=3,0 л. =3,0·10^-3м³ – объем баллона, n=5 – число рабочих ходов поршня, p₀=1,013·10⁵ Па – первоначальное давление воздуха в баллоне.

Найти: p_н и p_p – давление воздуха в баллоне после n ходов поршня при нагнетательном и разрежающем режимах работы.

1) Решение. После n рабочих ходов поршня в нагнетательном режиме насос заберет из атмосферы объем воздуха V_n= nV₁ при давлении р₀; эта масса воздуха будет введена в объем баллона V₂, создав там парциальное давление p_n; т.к. изменение температуры не учитывается, то по закону Бойля-Мариотта.

р_nV₂=р₀ nV₁, откуда p_n=p₀··n

Искомое давление воздуха в баллоне будет равно

p_н=p_n+p₀=p₀· (·n+1)

Подставляя числовые значения, получим

p_н=1,013·10⁵ Па =1,86·10⁵ Па

Ответ. В нагнетательном режиме давление воздуха в баллоне после 5 ходов поршня равно 1,86·10⁵Па.

2. Решение. Если в начале первого рабочего хода поршня воздух в баллоне занимал объем V₂ при давлении p₀, то в разрежающем режиме к концу первого хода поршня та же масса воздуха займет объем V₂+V₁ при давлении p₁. Т.к. изменение температуры не учитывается, то по закону Бойля-Мариотта

p₁(V₂+V₁)=p₀V₂, откуда p₁=V₂/(V₂+V₁)p₀

В начале второго хода поршня объем и давление газа в баллоне равны соответственно V₂ и p₁, в конце хода они равны V₂+V₁ и p₂, откуда

p₂=V₂/(V₂+V₁)p₁ или p₂=(V₂/(V₂+V₁))²p₀

Продолжая те же рассуждения, находим, что к концу n-го рабочего хода

p_n=(V₂/(V₂+V₁))ⁿp₀

Подставляя числовые значения получим

p_p=(3·10^-3/(3·10^-3+0,5·10^-3))⁵p₀=0,48·10⁵ Па

Ответ. В разряжающем режиме давление воздуха в сосуде после 5 ходов поршня равно 0,48·10⁵Па.

Задача. Используя условие примера 6 и ответы к нему, найти количество тепла, поглощенного газом (воздухом), и изменение его внутренней энергии; вычислить работу газа при изобарическом процессе.

Дано: Т₁=300К-начальная температура, р₁=2·1,013·10⁵Па-начальное давление, V₁=120·10^-3м³ ,V₂=150·10^-3м³-начальный и конечный объемы газа, с_р=1,0·10³Дж/(кг·К)-удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении, μ=29·10^-3кг/моль- молярная масса воздуха, R=8,314Дж/(моль·К)-молярная газовая постоянная, Т₂=384К и Т₂^’=375К-конечные температуры воздуха при изохорическом и изобарическом процессах соответственно, m=0,283кг- масса воздуха.

Найти: Q_V и Q_p – количество тепла, поглощенные газом при изохорическом и изобарическом процессах, А – совершенную газом работу; ΔU_V и ΔU_р – изменение внутренней энергии в обоих случаях.

Решение. При изохорном процессе

Q_V=С_VmΔT₁

При изобарическом

Q_p=с_рm ΔT₂

Здесь с_V и с_p – удельные теплоемкости воздуха при постоянных объеме и давлении; c_p/c_V=1,4; ΔT₁=Т₂-Т₁, а ΔT₂= Т₂^’-Т₁

Работа совершенная газом при изобарическом процессе, находится по формуле

А_р=p₁ΔV= RΔT

Работа газа при изохарическом процессе

А_V=0

Согласно первому началу термодинамики

ΔU_р=Q_p-A_p (изобарический процесс)

ΔU_V=Q_V (изохорический процесс)

Подставляя числовые значения и получим для изохорического процесса.

Q_V=ΔU_V=Дж/(кг·К) ·0,283кг·84К=17кДж

Для изобарического процесса

Q_p=10³Дж/(кг·К) ·0,283кг·75К=21,2кДж;

А_р=2·1,013·10⁵Па·30·10^-3м³=6,08кДж;

и

Ответ: Газ поглощает 17 кДж тепла при изохорическом процессе и 21,2 кДж при изобарическом; при изохорическом процессе газ не совершает никакой работы, , при изобарическом кДж; изменение внутренней энергии в первом случае равно 17 кДж, во втором-15,1 кДж.

Задача. В латунный калориметр массой 0,15 кг, содержащий 0,20 кг воды при 15 ⁰С, опустили железную гирю массой 0,26 кг при температуре 100 ⁰С. Найти общую установившую температур. Потери тепла не учитывать.

Дано: m_г=0,26 кг – масса гири, Т=373 К – начальная температура гири, m_в=0,20 кг – масса воды, Т₁=288 К – начальная температура воды и калориметра, m_к=0,15 кг – масса калориметра, с_г=460 Дж/(кг·К), с_в=4187 Дж/(кг·К), с_к=380 Дж/(кг·К) – соответственно удельные теплоемкости железа, воды, латуни.

Найти: θ – окончательная температура (всех трех тел).

Решение. Составим уравнение теплового баланса. Количество тепла, отданное железной гирей:

Q_г=с_гm_г(Т-θ).

Количество тепла, полученное водой:

Q_в=с_вm_г(θ-Т₁).

Количество тепла, полученное калориметром:

Q_к=с_кm_к(θ-Т₁).

На основании закона сохранения энергии

Q_г=Q_в+Q_к ,

или

с_гm_г(Т-θ)=(с_вm_в+с_кm_к)(θ-Т₁).

Находим из уравнения теплового баланса окончательную температуру:

.

Подставляя числовые значения величин, получаем

Ответ: Окончательная температура 298 К (25ºС).

Задача. Стальной снаряд, летевший со скоростью 200 м/с, ударяется в земляную насыпь и застревает в ней. На сколько градусов повыситься температура снаряда, если на его нагревание пошло 60 % кинетической энергии?

Дано: υ₀=200 м/с – начальная скорость снаряда, υ_к=0 – конечная скорость снаряда, к=60%=0,6 – доля кинетической энергии снаряда, ушедшая на его нагревание, с=460Дж/(кг·К) – удельная теплоемкость стали.

Найти: ΔТ – изменение температуры снаряда.

Решение. Из всей кинетической энергии снаряда на его нагревание ушла часть энергии ½ .

Увеличение внутренней энергии снаряда равно

сmΔТ.

Составим уравнение теплового баланса:

cmΔТ= .

Из составленного уравнения теплового баланса:

ΔТ=.

Подставляя числовые значения, получаем

ΔТ=

Ответ. Температура снаряда повысилась примерно на 26 К.

Задача. Вычислить шаг резьбы сверла, если при сверлении в медном цилиндре осевого отверстия диаметром 25 мм цилиндр нагрелся на 43 К. Вращающий момент, приложенный к воротку, равен 16,2 Н·м; 70 % затрачиваемой энергии превращается во внутреннюю энергию цилиндра.

Дано: d=25·10^-3 м – диаметр отверстия, ΔТ=43 К – повышение температуры цилиндра, М=16,2 Н·м – вращающий момент, развиваемый при сверлении, к=70%=0,70 – часть энергии, израсходованная на нагревание цилиндра, ρ=8900 кг/м³ – плотность меди, с=380Дж/(кг·К) – удельная теплоемкость меди.

Найти: p - шаг резьбы сверла.

Решение. Искомый шаг резьбы p можно найти, разделив высоту цилиндра h на число оборотов сверла n, которое необходимо сделать, чтобы просверлить цилиндр насквозь:

p=h/n.

При сверлении выделяется количество тепла

Q=cmΔТ=cShρΔТ,

где S=πd²/4

Отсюда

h=Q/cSρ ΔТ.

Величина n определяется из выражения для работы А, совершенной при сверлении цилиндра:

А=М2πn, откуда n=А/2πМ.

Подставив значения h и n в выражение для р и приняв во внимание, что по условию Q/A=, получим

р=

В окончательном виде

р=

Подставляя числовые значения, получаем

р=

Ответ. Шаг резьбы сверла около 1,0мм.

Задача. На сколько километров пути хватит автомобилю 40 л бензина, если сила тяжести автомашины 35,3 кН, общее сопротивление движению составляет 0,050 этой силы, к.п.д. двигателя 18 %. Движение считать равномерным.

Дано: V=0.040 м³ – объема бензина, Р=35300 Н – сила тяжести автомашины, F=0,050 Р – сила сопротивления движению, η=0,18 – к.п.д. двигателя, q=4,6·10⁷ Дж/кг – удельная теплота сгорания бензина, ρ=700 кг/м³ – плотность бензина.

Найти: s- пройденный путь.

Решение. Пройденный путь можно найти из формулы для работы, совершенной двигателем:

s=A/F.

Работу А двигатель совершает, используя часть (Q₁) всей энергии Q, полученной при сжигании топлива:

η=Q₁/Q, откуда Q₁=Qη.

Энергия, выделяющаяся при сгорании топлива,

Q=qm, где m=ρV.

Отсюда

А=Q₁= Qη= qmη=qρVη.

Сила тяги при равномерном движении равна силе сопротивления движению F, которая по условию составляет 0,050 силы тяжести машины, т.е.

F=0,050 Р.

Полученные нами выражения для А и F подставляем в формулу для s:

s=

Подставляя числовые значения и вычисляя, получаем

s=

Ответ. Бензина хватит примерно на 130 км.

Задача. На электроплитке мощностью 600 Вт за 35 мин нагрели 2,0 л воды от 293 до 373 К, причем 200 г воды обратилось в пар. Определить к.п.д. электроплитки.

Дано: масса воды, нагреваемой на плитке до кипения,-- начальная и конечная температуры воды, m=0,20 кг – масса испарившейся воды, P = 600 Вт – мощность тока в электроплитке, t = 2100 c – время действия электроплитки, - удельная теплоёмкость воды, r = 2,26 - удельная теплота парообразования воды.

Найти: к.п.д. электроплитки.

Решение: По определению к.п.д. нагревателя равен

,

где - количество тепла, израсходованное на нагревание воды и на превращение части её в пар, Q = Pt – тепловая энергия, израсходованная электроплиткой.

Подставим выражения для и Q в формулу для к.п.д.:

.

Подставляя числовые значения, получаем

Ответ: Коэффициент полезного действия электроплитки приблизительно равен 89%.

Задача. У какого количества воды можно понизить температуру от 20 до ,охлаждая её 200 г серного эфира с начальной температурой , испаряющегося под уменьшенным давлением? Удельную теплоту испарения эфира считать не зависящей от температуры. К.п.д. установки 80%.

Дано: = 0,8 – к.п.д. установки, m = 0,2 кг – масса серного эфира, начальная температура эфира и воды, с = 2330 Дж/(кг К), с_В=4187Дж/(кгК)  соответственно удельные теплоемкости эфира и воды, Т₂₌273К-конечная температура эфира и воды.

Найти: т_в  массу воды.

Решение. Задача решается с помощью уравнения теплового баланса. Испаряющийся при пониженном давлении эфир должен поглотить количество тепла rm. Так как при этом он охлаждается от Т₁ до Т₂, количество тепла, поглощенное им извне, будет равно rm - mc(T₁-T₂).Из-за несовершенства теплоизоляции тепло будет поступать и от окружающего атмосферного воздуха; по условию от охлаждаемой воды будет взята лишь часть Q₁ = r m –cm(T₁- T₂) необходимо для испарения эфира тепла. На основании закона сохранения энергии имеем

m=r- c (T_1-T₂= c_вm_в(T₁-T₂).

Подставляя числовые значения, получим

Ответ. Масса воды, у которой можно понизить температуру, равна примерно 0,58 кг.

Задача. При понижении температуры от 16 до 10  из каждого кубического метра воздуха выделилось по 1,5 г воды. Какова была относительная влажность воздуха при 16?

Дано: - первоначальная температура воздуха, конечная температура воздуха, количество воды, выделившейся из каждого кубического метра воздуха.

Найти: относительную влажность воздуха при 16 .

Решение. По условию при температуре 238К воздух насыщен водяными парами. Находим по таблице плотность пара, насыщающего воздух при ; прибавив к этому числу количество влаги, выделившейся из каждого кубического метра воздуха , получим плотность пара, находившегося в воздухе при , т. е. абсолютную влажность воздуха . Найдя в таблице плотность пара, насыщающего воздух при , вычислим относительную влажность воздуха .

Подставляя в формулу для числовые значения и производя вычисления, получаем %= 80%.

Ответ. Относительная влажность воздуха при равна 80%.