- •Модуль 2. Математический анализ.
- •Тема 2.1. Теория пределов.
- •Тема 2.2. Дифференциальное исчисление.
- •Правила дифференцирования
- •Формулы дифференцирования
- •Тема 2.3. Интегральное исчисление.
- •Свойства определенного интеграла:
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •Интегрирование методом введения новой переменной определенного интеграла состоит в следующем:
- •Тема 2.4. Дифференциальные уравнения.
- •Тема 2.4. Числовые ряды.
Модуль 2. Математический анализ.
Тема 2.1. Теория пределов.
-
Основные понятия теории пределов.
-
Свойства пределов функций.
-
Замечательные пределы.
-
Правила вычисления пределов функций.
Пункт 1. Основные понятия теории пределов.
Число b называется пределом функции у = f(x) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для всех значений х, достаточно близких к а и отличных от а, значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от числа b, т.е. выполняется условие |f(x) - b| < , где - сколь угодно малое положительное число окрестности точки а, то есть .
Читают: Предел функции f(x) в точке а – число b, к которому стремятся значения функции f(x), когда х стремится к а или f(x) b при х а.
Окрестностью точки а называется любой интервал, содержащий точку внутри себя.
Число b называется пределом функции у = f(x) на бесконечности (или при х, стремящемся к бесконечности), если при всех достаточно больших по модулю значений аргумента х соответствующие значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от числа b.
Теорема о единственности предела. Если функция имеет предел при x→a, то этот предел единственный.
Пределом функции f(x) в точке хо слева (справа) называется предел, вычисляемый в предположении, что х стремится к хо, оставаясь все время меньше (больше) хо.
Пределы слева и справа называются односторонними пределами и соответственно обозначаются: и .
Величина f(x) называется бесконечно малой, если ее предел равен 0, то есть .
Величина называется бесконечно большой, если ее предел равен , то есть .
Следует отметить, что обратная бесконечно малой величины является бесконечно большой величиной и наоборот.
Пункт 2. Свойства пределов функции.
Если существуют и , то
-
где с = const
-
-
-
где
-
где с = const
-
Если f1(x) f(x) f2(x) и , то
-
-
-
.
Пункт 3. Замечательные пределы.
Существует два замечательных предела, которые облегчают процесс вычисления различных пределов функций – это первый и второй замечательные пределы функций.
Первый замечательный предел функции.
или .
Следствия из первого замечательного предела:
Можно использовать следствия этого предела:
; ; ;
Примеры.
-
.
-
.
-
-
.
Второй замечательный предел функции.
или , где число е - число Эйлера и е 2,718281…
Примеры:
-
.
-
.
-
.
-
-
.
-
Пункт 4. Правила вычисления пределов.
При вычислении пределов различных функций могут появиться неопределенные выражения вида: . Такие выражения называются неопределенностями. Поэтому наша задача сводится к раскрытию таких неопределенностей.
Неопределенность вида .
Для того, чтобы раскрыть неопределенность подобного вида, необходимы тождественные преобразования (разложение на множители, применение формул сокращенного умножения и т.д.)
Примеры.
Иногда неопределенность такого вида появляется в пределах функций, содержащих знак радикала. В этом случае уничтожают иррациональность, для чего числитель и знаменатель умножают на выражение, сопряженное выражению, которое содержит иррациональность, при этом используют формулу (a – b) (a + b) = a2 – b2.
Примеры:
Неопределенность вида .
Для того, чтобы раскрыть неопределенность подобного вида, необходимо каждое слагаемой в числителе и знаменателе дроби разделить на наивысшую степень всей дроби.
Примеры:
Неопределенность вида - .
В этом случае нужно:
-
выполнить вычитание дробей, сделать необходимые тождественные преобразования и свести к неопределенности вида или
ИЛИ
-
числитель и знаменатель одновременно умножить на сопряженное выражение и тем самым свести к неопределенности вида или
ИЛИ
-
преобразовать соответствующую разность f1(x) – f2(x) в произведение:
и раскрыть неопределенность ; , .
Примеры:
Неопределенность вида 0 .
Для раскрытия этой неопределенности необходимо преобразовать соответствующее произведение f1(x) f2(x), где и , в частное или .
Примеры:
-
.
-
.
Часто для вычисления пределов любых функций используют производные функций. Это носит название правила Лопиталя.
Первое правило Лопиталя.
Если .
Второе правило Лопиталя.
Если .
Примеры.
-
-
.
-
.